一面墙上的两个时钟趋向于同步。这种现象是通过墙壁的弹性由非线性耦合引起的。的确，任何两个动力系统，通过构造出两个相应的态空间的笛卡尔乘积，都可以组合成一个系统。这种组合系统的一个小的扰动叫做两个系统的一个耦合。这种组合系统的状态的几何模型以如下方式形成。
时钟A和B都是一种振荡子。为了形象地表示出两个振荡子的渐进线行为，瞬时行为被忽略，位移和速度两个参量的绕起点的极限环的欧几里得平面二维状态模型也就用该极限环来代替。振荡子A的一个状态，用一个相应于它的相的角度a来说明（图2．11a），振荡子B的一个状态则用角度B来说明（图2．11b）。
为了构造出这两个振荡子组合系统的态空间，我们设想时钟A的极限环在水平平面上。这个平面循环中的每一点代表A的一个相状态。我们将这样一个点看作时钟B的极限环的中心，时钟B垂直于时钟A的水平平面（图2．11。）。该垂直循环上的每一点代表了B的一个相状态。相对（a，B）就代表了组合系统的状态。
如果振荡子A停止在相a，振荡子B通过一个完整循环，那么组合的相点横穿过图2．11c中的垂直循环。如果振荡子A也运动通过一个完整循环，那么图2．11c中的垂直循环也沿着水平循环运动，描出图2．11d中的环形圆纹曲面。因此，两个振荡子的组合系统的态空间是环形圆纹曲面，它是两个循环的笛卡尔乘积。两个振荡子的实际状态的模型当然是四维的，而不是我们的示意图中仅仅是二维的。
为了获得组合系统的动力学行为的相图，我们必须研究环形圆纹曲面态空间的矢量场和轨迹。我们首先假定，每一个时钟的状态都与另一个时钟的状态完全无关。在这种情形下，两个时钟是没有耦合的。相应于每一时钟的时间相的环形圆纹曲面上的轨迹点，都围绕环形圆纹曲面。如果每一时钟的速率都是恒定的，那么在此扁平垂直的环形圆纹曲面模型上，轨迹是一条直线（图2．12）。这条线的斜度是时钟B的速率与时钟A的速率的比值。如果两个时钟具有相同的运行速率，则比值等于1。给出相同的时间意味着两个时钟具有相同的相。于是，扁平环形圆纹曲面上的轨迹是图2．12a中的对角线。
系统中的微小变化，将导致两个振荡子的速率或频率比值的微小变化。于是，在环形圆纹曲面上的轨迹从周期轨迹变化成准周期轨迹，或变化成多次缠绕的周期轨迹，而不仅仅是一个周期轨迹（图2．12b）。如果两个振荡子是耦合的（例如惠更斯的两个时钟的共同墙面），那么一个小的矢量场就必须加到代表非耦合系统的动力模型中。几何分析中的一个著名定律指出，在小的扰动并不导致相图发生显著的变化的意义上，环形圆纹曲面上的轨迹边缘是结构上稳定的。从实验上看，这个结果已从惠更斯对于同一面墙上两个时钟的同步现象的观察中得到了验证。
对于为大自然建模的程序，振荡子是一个中心动力学范式。它们并不局限于机械应用。在19世纪，赫尔曼·冯·赫尔姆霍兹发明了一种电振荡器，瑞利勋爵研究了早期无线电发射器中的真空管振荡子的耦合系统。在本世纪，冯·德·波洱运用进一步发展起来的无线电频谱电子学来理解耦合振荡子。
在牛顿的宇宙中，耦合振荡子提供了多体问题的例子。关于多个运动质点的质点系统，其中质点之间有相互作用时，对此有何共性的东西呢？两个质点的系统有简单的精确解。在具有共同向心力的两个质点的两体问题中，（12个）未知量由关于两个粒子的（10个）守恒量定律和牛顿的运动定律来确定。两个质点的问题可以成功地归结为已经解决了的单质点问题，这里利用了微分矢量r和质点m1、m2的归并质量u＝m1m2／（m1＋m2）的牛顿运动方程。历史上，伽利略假定，地球围绕太阳运动，太阳是静止的。他从而把天上的运动归结为简单的两体问题。正如我们知道的，太阳实际上围绕着地一日系统的组合质心而运动，此质心落在太阳表面之内。但是，这个假设当然仍是不精确的，因为许多行星都在同时围绕着太阳运动，它们相互之间又有相互作用。
弹子球的三体碰撞，是另一个多体问题的例子。假如弹子球仅仅成对碰撞，没有发生三体或更高级的碰撞，那么此情形就归结为两体问题。其结果不断地依赖于起始状态。起始状态的充分微小的变化，仅仅导致结果的小的变化。如果三个弹子球碰在一起，结果行为就完全取决于哪些球首先碰在一起。因此，结果是不连续地依赖于输人，而与莱布尼茨的连续性原理相反，莱布尼茨曾运用这一原理来批评笛卡尔对碰撞的探索。牛顿宇宙中，在所有时间——木论是将来还是过去——用位置和速度可以在数学上完全确定其物理行为的意义上，弹子球和行星的多体问题可以用确定论的模型来描述。但是，此种模型实际上可能是不可计算的，或对于长期来说是不可计算的。在行星理论中，对于长达数百万年的情形在计算机上进行数值模拟，可能会得到极为错误的结果，因为起始位置和速度是不可能精确知道的。在起始数据中的一个非常小的变化，可以会迅速地产生出结果的巨大变化。这种行为上的不稳定性，对于多体问题是典型的。甚至在完全确定论的世界，拉普拉斯妖的假设，即认为可以对牛顿宇宙进行长期的计算，终将暴露出完全是一种幻象。
2．3哈密顿系统、天上的混沌和量子世界的混沌
在18世纪和19世纪，牛顿力学看来是揭示了一个永恒自然之序。从现代的观点看，牛顿系统仅仅是一种在建立实在模型中有用的动力系统。为了说明牛顿系统的起始状态，必须知道其中所有粒子的位置和速度。在19世纪中叶前后，数学家威廉姆·哈密顿引入了一种非常优美的有效的数学形式。他富有成果的思想是用所谓的哈密顿函数H来标志一个保守系统，此函数H用所有位置和动量变量来表达系统的总能量（＝动能加上势能）。一个微粒的速度不过是其位置对于时间的变化率，动量则是其速度乘以质量。牛顿系统用牛顿运动第二定律来描述，此定律涉及到加速度，即位置变化率的变化。因此，在数学上，它们由二阶方程来定义。在哈密顿表达式中，有两组方程。一组方程描述粒子的动量怎样随时间而变化，另一组描述位置怎样随时间而变化。显然，哈密顿方程描述了量（例如位置或动量）的变化率。因此，我们获得了一种以一阶方程进行数学描述的还原，此方程当然是确定论的。对于具有3个独立空间方向的n个未约束粒子的动力系统，就有3n个位置坐标和3n个动量坐标。
由于适当地选用哈密顿函数H，哈密顿方程就可以用来标志任何经典动力系统，而不仅仅是牛顿系统。甚至在麦克斯韦电动力学中，就其任一给定时间的数值而言，类哈密顿方程也提供了电场和磁场随时间的变化率。唯一的区别在于，麦克斯韦的方程是场方程而不是粒子方程，描述系统的状态时需要无限数量的参量，在空间的所有点上都使用场矢量，而不是使用无限多个参量——对每一粒子都使用3个位置坐标和3个动量坐标。对于狭义相对论和（进行了某种修订的）广义相对论，哈密顿方程都是有效的。玻尔对应原理实现的由经典力学向量子力学转变的关键性步骤，甚至也采取哈密顿表达式的框架。这些应用将在后面进行解释。现在只须记住，对于物理学中建立动力学模型，哈密顿方程提供了一种普遍的表达方式。
相应的态空间允许我们把动力系统在每一“阶段”的演化形象化。因此，它们被称作相空间。对于n个粒子的系统，相空间的维数是3n＋3n＝6n。相空间的一个点代表着其中有n个粒子的可能复杂系统的整个状态。哈密顿方程决定着相空间的相点的轨迹。整体上看，它们描述了所有相点的变化率，因此定义了该相空间的一个矢量场，决定着相应系统的总的动力学。
经验应用中的一个众所周知的事实是，不可能任意精确地测定动力学模型的状态。一个数量的测量值可能有些微小的差异，它们是由测量仪器、环境的约束等等原因造成的。相应地，相点集中在某些小的邻域之中。由此引出了一个关键性问题，在其具有邻近终态的意义上，从邻近的起始态出发的轨迹是否是局域稳定的。在图2．13a中，时刻零的起始态的相状态区域Ro被矢量场的动力学拖到后来的时间t的区域Rt（当然，实际的大量数目的坐标在这种相空间的形象表示中必须忽略掉）。
在此情形中，相似的起始状态导致了相似的终态。这个假设不过是一种以哈密顿动力学语言描述的经典性因果关系原理：类似的原因将导致类似的结果。历史上，从莱布尼茨到麦克斯韦的哲学家和物理学家都相信这个因果关系原理，它似乎保证了测量过程的稳定性以及预测的可能性，而可以不管显著的不精确性差距。
值得注意的是，哈密顿表达式的表象允许一种关于经典动力系统的因果关系一般性陈述。由数学家刘维的著名定理，即在任何哈密顿动力学中，因而对于任何的保守动力系统，相空间的任一区域的体积都必定保持不变。结果是，在图2．13a中的起始区域Ro的大小，是任何哈密顿动力学都不可能使之增大的，如果我们把“大小”正确地理解为相空间的体积。但是，它的保守性并不排除，其起始区域的形状被扭曲并扩展到相空间的大范围（图2．13b）。
我们可以想像一下一滴墨水在容器里的水中扩散。相空间的可能扩散结果意味着，刘维定理不能保证轨迹的局域稳定性。起始数据中的一个非常小的变化，可能会引出结果有大的变化。大体力学和弹子球的多体问题仍然是长期不可计算的，尽管其动力学是确定论的。然而，刘维定理对于可以由哈密顿动力学从而也就是保守动力系统所显示的最终区域，意味着某些一般性结果。回忆一下，其起点有不同平衡点的有摩擦单摆（这不是保守系统）的相图2．8c。非保守系统有螺旋型的点吸引子（图2．14a），而保守系统具有不是吸引子的涡旋点（图2．14b）。
在图2．14a中，轨迹收缩到一个域点，而其起始区域的体积发生蟋缩。在图2．14b中，轨迹沿涡旋点旋转，起始区域的体积保持不变。因此，由刘维定理我们可以得出一般性结论：在任何保守系统中，吸引子都必须排除掉。起始区域的蜷缩效应，在极限环的轨迹中也容易形象地表示出来。由于同样的数学的先验理由，保守系统中也不可能有当作吸引子的极限环。
这些结果是由哈密顿系统的影响深远的数学定理首先导出的。我们必须意识到，像行星系统、单摆、自由落体等等保守的物理系统，只不过是哈密顿系统的一些经验应用。哈密顿系统是由一类特殊的数学方程（哈密顿方程）来定义。哈密顿系统的特征是从相应方程的数学理论推导出来的。结果是，用哈密顿系统来建立实在的模型，意味着我们可以从认识论上预测某些先验的特征，例如在此不可能存在静态平衡的极限点吸引子，也没有周期平衡的极限环吸引子。
从哲学上看，这种观点显然在某种变通的意义上与康德的认识论相符合。如果我们假定某些动力系统的数学框架，那么我们当然就可以对于我们的经验模型得出某些先验的陈述，而不涉及到它们在若干学科中的经验应用。但是康德的认识论和动力学研究方式在如下的意义上是不同的：不仅仅有一种范畴框架（例如牛顿系统），而且有多种系统来为实在建立模型也可以取得程度不一的成功。因此，把保守系统甚至运用于认知科学、经济科学中，也并非物理主义或还原主义。
哈密顿（保守）系统的进一步的推演认为，在此有不规则的。混沌的轨迹。在18世纪和19世纪，物理学家和哲学家都相信，大自然是由牛顿类型的或哈密顿类型的运动方程所确定的。如果现在事件的起始状态已经明确知道了，宇宙的未来和过去状态就至少原则上是可计算的。从哲学上看，这种信念由拉普拉斯妖形象化了，它如同一台没有物理局限的巨大计算机，可以贮存和计算出所有的必然状态。数学上，这种拉普拉斯妖的信念必须假定，经典力学中的系统是可积的，从而也就是可解的。1892年，彭加勒已经意识到，经典力学中的不可积的三体问题可能导致完全混沌的轨迹。大约60年以后，科尔莫哥洛夫（1954）、阿诺德（1963）和莫泽（1967）证明了他们的著名的KAM定理：经典力学的相空间的运动既非完全规则的也非完全无规的，但是轨迹的类型敏感地依赖于对于初始条件的选择。
由于天体力学是由经验上确证了的哈密顿系统的动力学模型，KAM定理拒绝了某些传统的关于“月上”世界的见解。天上，既非一个亚里士多德宇宙意义上的规则世界，也非一个拉普拉斯妖意义上的永恒的规则世界。显然，它不是上帝的居所。然而，它并非完全混沌的。天上，如哈密顿系统已经认识到的，具有或多或少的规则性和无规则性。比起前人的信念，它显得更像我们人类的日常生活。这点可能会激起作家们对于哈密顿系统的好奇心。但是，让我们先看一看一些数学事实。
可积系统的一个最简单例子是谐振子。在实践上，任何有n个自由度的可积系统的运动方程，等同于一组n个未耦合谐振子。相应的相空间是2n维的，其中有n个位置坐标，n个动量坐标。对于n＝1的谐振子，我们得到了一个循环，对于n＝2的两个谐振子得到一个环形圆纹曲面（对照图2．11d）。因此，n个可积运动的存在，把可积系统的2n维格空间的轨迹限制于n维流形中，其拓扑是一个n维环形圆纹曲面。对于两个自由度的和四维相空间的可积系统，轨迹可以形象地表示在环形圆纹曲面上。轨迹的封闭轨道，只有在两个相应的振荡子的频率比值是有理数时，才可以出现（图2．15）。对于无理数的频率比值，轨迹的轨道则决不会重复自己，而是无限地趋近环形圆纹曲面上的所有的点。
亨隆和海里斯于1964年研究了一个天体力学的不可积系统。此动力学模型由一对可积谐振子构成，它们之间有不可积的坐标立方项的耦合。如果模型的起始状态的两个位置坐标q1、q2和两个动量坐标p1、p2都是已知的，那么其总能量E就由相应的依赖于这些坐标的哈密顿函数H所确定。此系统的轨迹在四维相空间的一个三维超平面上移动，此超平面由H（q1，q2，p1，p2）＝E来定义。
E的值可以用来研究规则运动和无规运动的共存，这种运动是KAM定理所预见了的。对于小的E值，动力系统是有规则的行为，而对于大的E值，它就变得混沌了。为了形象地表示出这种行为的变化，我们考虑具有二维平面坐标q1和q2的轨迹的截面（彭加勒映射）。对于E＝1／24（图2．16a）和
E＝1／12（图2．16b），彭加勒映射显示出只有规则运动的有些变形的环形曲面的截面。在临界值E＝1／9以上，绝大多数（但不是全部）环形曲面都消失了，不规则点也随机地出现了。对于E＝1/8（图2．16c），彭加勒映射显示出一种规则运动和无规运动共存的过渡状态。对于E＝1／6（图2．16d），运动就显出完全是无规的、混沌的。
如下的天体力学的三体问题中，给出了一个经验应用的例子，它是不可积的。图2．17中示意了木星运动对于围绕太阳运动的一颗小行星运动的扰动。
木星和该颗小行星被解释为两个具有一定频率的振荡子。按照KAM定理，小行星的稳定和不稳定的运动可以根据频率比值来加以区分。
一般地，我们必须意识到稳定的以及不稳定的轨迹都是数学上明确定义的。结果是，甚至不可积的多体问题也描述着确定论的世界模型。打一个比方，我们可以说，莱布尼茨和牛顿的上帝都毫无困难地预见了规则的和无规的轨迹，而毋需一步一步地计算其发展。观测到的混沌行为，既不是由于大量的自由度（一个天体的三体问题只有不多的自由度），也不是人类知识的不确定性。无规是由哈密顿方程的非线性引起的，其起始的封闭轨迹在相区域中指数地快速分开。由于其起始条件只可能以有限的精确度来测量，而误差是指数地快速增加，这些系统的长期行为是不可能预见的。因此，计算机辅助计算将随着改进了越来越多的测量数字而更快地推动此种误差。
天体力学、小行星世界、行星、恒星和星系的宏观世界，是由规则和无规行为共存所确定的。天上的确定论混沌虽非处处皆有，然而是局域可能的，因此可能引起在原则上不能排除的宇宙灾变。量子力学的微观世界，即光子、电子、原子和分子的量子世界中，情况又怎样呢？在量子世界中有混沌吗？为了回答这个问题，我们首先需要了解一些有关量子世界的客体的哈密顿系统和相空间的基本概念。
1900年，马克斯·普朗克提出，电磁振荡子仅仅以量子方式出现，其能量E对于频率。具有确定的关系E＝hv，其中h是常数（“普朗克量子”）。在20世纪的物理学中，除了爱因斯坦的巨大光速常数c以外，普朗克的微小量子常数是大自然的第二个基本常数。普朗克关系得到了实验上的支持，例如黑体辐射实验的支持。1923年，路易斯·德布罗意提出，甚至物质粒子往往也具有波一样的行为。对于一个质量m的粒子，德布罗意的波动频率。满足普朗克关系。与爱因斯坦相对论中著名的定律E＝mc2结合起来（“质量是能量的特殊状态因此可以通过辐射而转变为能量”），我们获得了一种关系：v通过hv＝mc2而与m联系起来。于是，在量子世界，场的振动频率，依赖于普朗克常数和爱因斯坦常数，只以不连续的质量单位出现。显然，量子世界中的现象，既可以看作波也可以看作粒子。这就是所谓的波粒二象性，它在许多实验中得到了明确的证明，实验中根据所预备的试验条件，揭示了如光子或电子这样的量子系统的波动或粒子特征。
尼尔斯·玻尔在1913年引入了他的“行星”原子模型，该模型可以极为精确地解释观察到和测量到的不连续稳定能级和光谱频率。玻尔的规则要求，绕核运动轨道上的电子的角动量只能以h＝h/2x的整倍数出现。他的成功的、但带有几分预设性的规则，仅仅提供了一种近似的几何模型，它必须从量子世界的动力学理论中推导出来，对应于可以解释开普勒的行星定律的牛顿和哈密顿经典力学。量子世界的动力学是由海森伯和薛定谔的量子力学奠定的，它成为了20世纪物理学的基础物质理论。
量子力学的基本概念可以启发式地引入，即以普朗克常数为基础考虑到进行必要的修改，从而类似于相应的哈密顿力学的概念。这个程序叫做玻尔对应原理（图2．18）。因此，在量子力学中，经典的矢量如位置或动量都必须用某些算符来代替，这些算符满足某种依赖于普朗克常数的非对易（非经典）关系。如果h消失（h→O），我们就获得众所周知的例如位置和动量的经典对易关系，它们允许我们对矢量进行任意精确的测量。量子力学中非对易关系的一个直接结果是海森伯不确定性原理△p△q≥h/2。如果一次测量中，位置q精确到△q，那么对于动量P的一个扰动是△P。因此，在量子世界中显然不存在轨迹或轨道，轨迹或轨道要求粒子具有精确的位置和动量的值。玻尔的流行的电子轨道只是一种极为粗略的几何形象化［2．29〕。
经典力学——————————————→量子力学
对应原理
↑
↑
经典的可
空-时（伽
非经典的
观测量代
利略的或
可观测量
数
相对论的
代数
图2.18玻尔对应原理
按照玻尔对应原理，哈密顿函数描述的经典系统，必须代之以用算符描述的量子系统（例如电子或光子），这里（对于位置和动量）使用的是算符而不是矢量。在经典物理学中，哈密顿系统的状态是由相空间的点来确定的。在量子力学中，恰当的类似概念是希尔伯特空间。量子系统的状态由希尔伯特空间的矢量来描述，其哈密顿算符的本征值决定了此希尔伯特空间的距离。
为了稍稍详尽一些说明这种数学的特点，让我们想像一粒量子微粒。在经典理论中，一粒微粒是由它的空间的位置和它的动量来确定的。在量子力学中，微粒可能具有的每一位置，都是所有位置的集合中的一种交换组合，其权重为复数。于是，我们得到了一个关于位置的复函数，即所谓的波函数Ψ（x）。每一位置x，Ψ（x）的值标志了该粒子在X处的波幅。在此位置的某个一定的小间隔中找到此粒子的几率，由波幅的平方模|Ψ（x）|2给出。各个可能的不同动量的波幅也是由波函数确定的。因此，希尔伯特空间是一个量子系统状态的复空间。
量子状态的因果动力学由偏微分方程来确定，这叫做薛定谔方程。经典可观测量是可对易的，与此相反，量子系统的非经典可观测量是不可对易的，一般没有共同的本征值，自然也就没有确定的本征值。对于量子状态的可观测量，只可能计算出统计的预期值。
薛定谔量子表达式的一个基本性质是叠加原理，这表明了它是线性的。例如，考虑两个发生相互作用的量子系统（例如一对以相反方向离开共同光源的光子）。甚至当它们在远距离处已没有物理相互作用时，它们也保留着共同的状态叠加性，这是不可能分离开或局域化的。在这样的关联的（纯的）量子叠加态，两个量子系统的某一个可观测量只可能有不确定的本征值。量子力学的叠加或线性原理提供了组合系统的相关的（关联的）状态，这已经在EPR实验中得到了高度的确证。从哲学上看，（量子）整体大于其部分之和。非局域性是量子世界的一个基本性质，这不同于经典的哈密顿系统。我们在讨论心－脑和人工智能的出现时，将返回到这个问题（第4－5章）。
玻尔的对应原理引出了这样一个问题：经典的哈密顿系统中存在混沌运动是否将导致相应的量子系统中的无规性。我们对量子力学基本概念的概括给出了某些线索：在从经典的混沌系统转变成相应的量子力学系统时，可望有些变化。与经典力学相反，量子力学仅仅允许统计期望值。尽管薛定谔方程在叠加原理的意义上是线性的，并可以（例如对谐振子）精确求解，而且波函数是由薛定谔方程严格确定的，但这都并不意味着量子状态的性质可以精确地加以计算。我们只可能计算出，在某个空－时点上找到光子或电子的几率密度。
因为海森伯的不确定性原理，在量子世界没有轨迹。因此，用接近的轨迹以指数快速分离来确定性混沌，对于量子系统是不可能的。不确定性原理的另一个方面涉及到的混沌是值得注意的：具有如图2．16所示混沌区的经典相空间。不确定性原理意味着，体积hn中的2n维相空间众多的点是不可分辨的。原因在于小于hn的混沌行为在量子力学中是无法表达出来的。只有在这些混沌区域之外的规则的行为才有可能被表达出来。在此意义上，微小而有限的普朗克常数值可能抑制了混沌。
在量子力学中，人们区分了与时间无关的稳恒系统和与时间相关的哈密顿系统。对于具有稳恒哈密顿量的系统，薛定谔方程可以归结为所谓的线性本征值问题，它允许人们计算出例如氢原子的能级。只要这些能级是分离的，波函数的行为就是规则的，就不会有混沌。这里引出的问题是，具有规则的经典限度的量子系统的能谱，与其相应的经典系统表现出混沌的量子系统的能谱，它们之间是否有区别。时间相关的哈密顿量被用来描述诸如基本粒子和分子的时间演化。
按照玻尔对应原理，可以从研究某些经典哈密顿系统来入手对量子混沌进行考察。它们可以是可积的，近可积的或者混沌的。因此，能量超平面上的轨迹可以是规则的，近规则的或者近混沌的。用相应的算符来代替位置和动量的矢量，使得哈密顿函数量子化，我们就获得相应量子系统的哈密顿算符。接下来就可以推导薛定谔方程和本征值方程。现在，我们可以问一问，经典系统及其可积、近可积或混沌行为的特性，是否可以转变成相应的量子系统。能谱、本征函数等等的情况怎样？这些问题都概括在“量子混沌”的标题下。例如，一些计算表明，一个圆柱势垒中的自由量子粒子的能谱（经典运动对此是混沌的），与圆周上的自由量子粒子的能谱（经典运动对此是规则的）是完全不一样的。
在图2．19中，相邻能级之间的距离的分布用两个例子来说明。图2.19a，b中，一个由两个振荡子耦合构成的系统显示出有两个不同值的耦合系数。图2．19a的经典动力学是规则的，而图2．19b的经典动力学则是近混沌的。
图2．19c，d显示了在均匀磁场中的氢原子的例子。图2．19c相应的经典动力学是规则的，而图2．19d的经典动力学则是近混沌的。规则的与混沌的情形可以由能级的不同分布（油松分布和威格纳分布）来区分，能级的计算是求解相应的薛定谔方程。它们已经在一些数值模型以及实验室激光光谱的测量中得到了确证。在此意义上，量子混沌不是幻象，而是量子世界的复杂的结构特性。哈密顿系统是发现宏观世界和微观世界的混沌的一把钥匙。但是，我们当然不能把确定论混沌的复杂数学结构与通常的无序思想混为一谈。
2．4保守系统、耗散系统和有序突现
由于彭加勒的天体力学（1892），人们从数学上认识到，某些时间演化受非线性哈密顿方程支配的力学系统可能会出现混沌运动。但是，只要科学家没有获得适当的工具去处理不可积系统，对确定论混沌就仅仅是保持着一种好奇而已。在本世纪的最初10年中，发展起来了多种数值程序，用来（至少是近似地）处理非线性微分方程的数学复杂性。现代高速计算机的计算能力和发展了的试验技巧，支持了自然科学和社会科学中非线性复杂系统探究方式取得新的成功。计算机辅助技术使非线性模型可视化，推动了跨学科的应用，在许多科学分支取得了深远的结果。在这种科学背景中（1963），气象学家爱德华·洛仑兹（他曾是著名数学家伯克霍夫的学生）观察到，3个耦合的一级非线性微分方程的动力系统可以导致完全混沌的轨迹。从数学上看，非线性是混沌的一种必要条件，但不是充分条件。它是必要条件，因为线性微分方程可以用人们熟知的数学程序（傅立叶变换）来求解，这并不导致混沌。洛仑兹用来为天气动力学建模的系统，主要是由于其耗散性不同于彭加勒所用的哈密顿系统。大致说来，一个耗散系统并非保守系统，而是“开放”系统，由外部控制参量可以将其调整到临界值，从而引起向混沌的转变。
更准确地说，保守系统以及耗散系统都是以非线性微分方程标志的：x＝F（d，Y）；矢量x＝（x1，…，xd）的非线性函数F依赖于外部的控制参量Y。按照刘维定理，保守系统在相空间的体积元随时间会改变其形状，但是仍旧保持其体积，而耗散系统与此不同，耗散系统的体积元会随时间的增长而蜷缩（参见图2．13和图2．14）。
洛仑兹在模拟全球天气模式中发现了出现扰动的确定论模型。地球在太阳的温暖下，从底部加热着大气。而那寒冷的外部空间，则从大气外壳吸取热量。底层的空气会上升，而上层的空气则力图下降。贝纳德在一些实验中为这种层与层之间的交流建立了模型。大气层中的空气流可以形象地表示为层之间跨越。大量冷暖空气之间的竞相交流，用循环涡旋来代表，叫做贝纳德元胞。在三维情形下，一个涡旋可以是热空气以环状上升，冷空气则从中心下降。于是，大气构成了三维贝纳德元胞的海洋，如同紧密堆积的六面体点阵。从沙漠、雪地或冰原的规则山丘和低谷中，我们可以窥见这种大气涡旋海洋的踪迹。
在典型的贝纳德实验中，重力场中的流体层被从底部加热（图2．20a）。底部被加热的流体力图上升，而顶部的冷流体则力图下降。这两种受到粘滞力的运动是相反的。对于小的温度差△T，粘滞性占有上风，流体保持静止，均匀的热传导进行着热的输送。系统的外部控制参量是所谓的粘滞性瑞利数R，它与△T成正比。在R的临界值，流体的状态变得不稳定，稳恒的对流卷模式发展起来（图2．20b）。
超出了某个较大的临界值R时，出现了向混沌运动的转变。描述贝纳德实验的复杂微分方程，被洛仑兹简化了，从而获得了他著名模型的3个非线性微分方程。每一个微分方程的3个变量中，变量X正比于环状流体的流速，变量Y标志下降和上升流体元之间的温度差，变量Z正比于垂直温度对其平衡值的偏差。从这些方程中可以推导出，相应的相空间的某一种表面的任一体积元都是随时间指数收缩的。因此，洛仑兹模型是耗散的。
利用计算机辅助计算，可以使得由洛仑兹模型的3个方程产生的轨迹形象化。在一定的条件下，在此三维相空间的特定区域被轨迹所收缩，使得一个圈在右边，然后又有几个圈在左边，再后又跑到了右边，如此等等（图2．21）。
这些轨迹的路径非常敏感地依赖于起始条件。它们的值的细微偏差可以导致很快偏离开原路径若干圈。因为它的奇怪的形象，看起来形如猫头鹰的两只眼睛，所以将洛仑兹相的吸引区域叫做“奇怪吸引子”。显然，奇怪吸引子是混沌的。随着轨迹越来越密集的又不互相切断的缠绕，轨迹最终将实现何种拓扑结构呢？这是一个说明所谓分形维定义的例子：
令M是此n维相空间的吸引子的子集。现在，让相空间被边长为E的立方体所覆盖。设N（ε）是立方体的数目，立方体中包含了吸引子M的片断。如果ε收缩到零（ε→O），那么N（ε）与ε的对数比值的负极限即D＝－lim
InN（ε）/lnε被称作分形维。
如果此吸引子是一个点（图2．14a），则分形维为零。对于稳定的极限环（图2．9），分形维为1。但是对于混沌系统，分形维不是一个整数。一般地，分形维只可能通过数值计算得到。对于洛仑兹模型，奇怪吸引子的分形维D≈2．06±0．01。
另一个已对其混沌运动进行了实验研究的耗散系统是贝洛索夫-札鲍廷斯基反应。在此化学过程中，一个有机分子被溴离子氧化，此氧化被氧化还原系统所催化。化学反应系统中的反应物浓度的变化率，又是用非线性函数的非线性微分方程来描述的。标志贝洛索夫-札鲍廷斯基反应中的混沌行为的变量，是此氧化还原反应系统中的离子浓度。从实验中观察到，适当地组合反应物的浓度，就得到了无规的振荡。这些振荡显示为分立的颜色环。这种分立使非线性形象地显示出来。线性的演化会满足叠加原理。在这种情形下，振荡环对于叠加将互相穿透。
相应的微分方程是自律的，即它们并不明显地依赖于时间。借助计算机辅助的可视化技术对微分运动方程描述的动力系统中的流进行研究通常很方便。它们通过离散方程，以（d-1）维彭加勒映射构造出相应的d维相空间中的轨迹截面点（参见图2．16）。所构造的点，随时间点n的增加标记为x（1），x（2），…，x（n），X（n＋1），…。这个相应的方程，对于x（n）＝（X1（n），…，xd－1（n）的相继的点x（n＋1），具有形式x（n＋1）＝G（x（n），λ）。这种保守系统与耗散系统的分类，可以概括从流直到彭加勒映射。一个离散的映射方程，如果它导致相空间的体积发生收缩，它就被称作耗散的映射方程。
一个著名的离散映射的例子是所谓的逻辑映射，它在自然科学以及社会科学中都有许多应用。从非线性到混沌的复杂动力系统的基本概念，可以借用相当简单的计算机辅助方法以这种映射来说明。因此，让我们先扼要地说明一下这个例子。在数学上，逻辑映射用二次（非线性）迭代映射来定义：xn＋1＝axn（1-xn）；其区间0≤x≤1，控制参量a在0≤a≤4之间变化。序列x1，x2，x3，…的函数值可以由简单的袖珍计算机来计算。对于a＜
3，结果收敛到一个不动点（图2．22a）。如果a继续增加到超过了临界值a1，在一定过渡时间之后序列的值就在两个值之间周期地跳跃（图2．22b）。如果a进一步增加，超过了临界值a2，周期的长度将增加一倍。如果再进一步地一增再增，那么周期每次都增加一倍，相应有临界值序列a1，a2，…。但是在超过了某个临界值ac以后，此发展就变得越来越无规和混沌（图2.22c）。图2．23a中的倍周期分叉序列受一个常数定律的支配，这是格罗斯曼和托麦在逻辑映射中发现的，后来又被费根鲍姆重新认识为一整类函数的一个普适性质（费根鲍姆常数）。超过了a的混沌区域示意在图2．23b中。
在图2．24a－c中，示意了不同控制参量的xn向xn＋1的映射，以构造出相应的吸引子，不动点，两点之间的周期振荡，无任何点吸引子或周期性的完全无规性。
相当令人吃惊的是，像逻辑斯蒂映射这样的简单的数学定律也产生出分叉的复杂性和混沌，其可能的发展示意在图2．23a，b中。一个必要的但非充分的原因是此方程的非线性。在此情况下，复杂性增加的程度由分叉的增加来定义，分叉的增加导致了最复杂的分形情景的混沌。每一分叉说明了该非线性方程的一种可能的分支解。在物理上，它们标志了从平衡态向新的可能的平衡态的相变。如果平衡态被理解为一种对称状态，那么相变就意味着由涨落力引起的对称破缺。
从数学上看，对称性由某种定律的不变性来定义，即关于在相应的观察者的参照系之间的一些变换的不变性。在此意义上，开普勒定律的对称性是由伽利略变换来定义的（参见图2．6a）。描述从底层加热的流体层的流体动力学（图2．20a）对于所有水平平移是不变的。化学反应方程（在无限延伸的介质中），是对于观察者使用的参照系的所有平移、旋转和反映不变的。
然而，这些高度对称的定律允许相变到具有较少对称性的状态。例如，在贝纳德实验中，加热的流体层变得不稳定，发展起来稳恒对流涡旋（图2．20b）。这种相变意味着对称破缺，因为细微涨落引起涡旋卷偏向其中的一个或两个可能的方向。我们的例子表明，相变和对称破缺是由外部参量的变化引起的，最终导致了系统的新的宏观空-时模式，突现出有序。
显然，热涨落自身具有不确定性，或更精确地说，具有几率性。一粒随机来回运动的粒子（布朗运动），可以用随机方程来描述，此随机方程支配着几率分布随时间的变化。确定一个过程的几率分布的最重要的手段之一，是所谓的主方程。将此过程形象化，我们可以想像一颗粒子在三维点阵中的运动。
在时刻t找到系统在点x处的几率，随着从其他点x’向该点迁移（“移入”）而增加，但随着迁移离开（“移出”）而减少。由于“移入”构成了所有的从起始点x’到x的迁移，所以它是这些起始点之和。和的每一项，亦即找到此粒子在点x’的几率乘以（单位时间）从x’到x的迁移几率。类似地，向外的迁移就是发现了“移出”。因此，一个过程的几率分布的变化率是由随机微分方程所确定的，它是由“移入”和“移出”的差来定义的。
涨落是由大量随机运动的粒子引起的。一个例子是流体与其分子。随机过程的分叉也就只能由几率分布的变化来确定。在图2．25中，几率函数从一个吸引子集中的浓度（图2．25a）变化到平坦的分布（图2．25b），最终变成了两个吸引子的两个极值（图2．25c），当此控制参量的增加超过了相应的临界值时。图2．25c示意了随机的对称破缺。
在此方面，复杂性意味着一个系统有大量的自由度。当我们从外部控制一个系统时，我们可以改变其自由度。例如，在升高温度时，水分子的蒸发变得更自由而不受相互牵扯。当温度降低时，形成液滴。这种现象是分子发生关联运动并保持相互间平均距离的结果。在冰点，水结成具有了固定的分子序的冰晶。人类很早就已经熟悉了这些相变。水有不同的聚集状态，也许这就是人们将水看作一种物质基本元素的哲学观念的原因（参见2．1节）。
材料科学提供了另一个例子。当铁磁体加热时，超过一定临界值它会失去磁性。但是，当温度降低时，磁体又重新获得其磁性。磁性是一种宏观特征，可以从微观上用自由度的变化来解释。铁磁体由许多原子磁体构成。在高温下，基元磁体随机地指向种种方向。如果将相应的磁矩加和，它们就相互抵消掉了。这在宏观水平上就观察不到磁性。低于某个临界温度时，原子磁体排列成宏观有序，产生出磁化作用的宏观特征。在两个例子中，宏观有序的突现都是由降低温度引起的，此结构在低温时形成，不丢失能量。因此，它是一种保守的（可逆的）自组织。在物理上它可以用波耳兹曼分布定律来解释，这一定律适用于能量较低，主要是在较低温度下实现的结构。
在小分子向超分子物质实物和材料的演化中，保守自组织过程起着主要作用。在此情形下，自组织意味着在接近平衡条件下自发地形成有序结构。性质已知的简单小分子的建筑块，在此过程中自装配成为中观（或纳米）尺度的非常大的具有全新性质的复杂聚集体。这些自装配过程的化学实现方式是多种多样的。它们可以通过化学模板和基质的作用来排列成复杂的分子结构。通过自装配，已经获得了若干个巨集束，其尺寸上相当于小蛋白，包含了300个以上的原子，分子量大约为10000道尔顿。图2．26中的巨集束具有未曾预料的新颖结构性质和电子性质：在此有不同的磁性，它们对特殊的固体状态结构是典型的，对于材料科学具有重大意义。一种显著的结构性质是在大集束中存在纳米尺度的空穴。
分子空穴可以用来作为其他化学药品，甚至人的机体中要输送的化学物的容器。许多高等有机体中都有一种贮存铁的蛋白质，叫做铁蛋白。它是一种不寻常的寄-宿系统，其构成中包括一种有机宿主（一种蛋白质）和一种可变的无机寄主（一种铁核）。根据外部的需要，铁可以从此系统中排出，也可以结合进来。经常发现，复杂化学聚集体如Polyoxometalates，以规则的凸多面体为基础，如同柏拉图固体。但是，它们的集体的电子性质和（或者）磁性质不可能归结为这些建筑块的已知性质。根据“从分子到材料”的结合酶，超分子化学应用此保守自组织的“蓝本”，在纳米尺度上去建筑起复杂的材料，它们在催化、电子、电化学、光学、磁和光化学诸方面具有新颖的性质。复合性质的材料是极为有趣的。超分子晶体管是一个例子，它可能会激起化学计算机的革命性的新发展。
在自然进化中，非常大和复杂的分子系统也是由基因指导的过程逐步产生的。纳米分子化学的保守自组织过程是非基因控制的反应。只有保守自组织和非保守自组织的聪明结合，才可以激发起基因出现之前的前生物进化。但是甚至在复杂有机体进化期间，保守自组织也必定会出现。在人类的技术进化中，这一原理被一再发现并得到应用。
另一方面，有一些系统，其有序和功能发挥并非是降低温度来实现的，而是保持某种通过其间的能量和物质流来实现的。熟悉的例子如动植物那样的活系统，它们需输入生物化学能。这种能量过程可以引起宏观模式如植物的生长、动物的行进等等的形成。但是这种有序的形成，决非是活系统专有的（参见第3章）。它是一种远离热平衡的耗散（不可逆）自组织，在物理学、化学和生物学中都可以发现。
正如热力学第二定律所说，与环境没有任何能量和物质交换的封闭系统，将向近平衡的无序状态发展。无序的程度由一种叫做“熵”的量来度量。热力学第二定律说，封闭系统中熵总是向其极大值增加。例如，使得一个冷物体与一个热物体接触，热的交换将使得两个物体都获得同样的温度，即一种无序的均匀的分子序。把一滴牛奶滴入咖啡中，牛奶最终扩散成一种无序的、均匀的牛奶咖啡混合物。人们从来没有观察到相反的过程。在此意义上，按照热力学第二定律，过程是不可逆的，具有唯一的方向。
流体力学中的一个例子是贝纳德不稳定性，它已经在2．4节的开头描述过。当加热流体层（图2．20a）达到某个临界值时，它开始了一种宏观运动（图2．20b）。因此，一个动态的很有序的空间模式是从无序的均匀的状态中出现的，只要保持了通过此系统的一定的能量流。
流体动力学中的另一个例子是流体绕一个圆柱流动的流。外部的控制参量又是流速的瑞利数R。在低速时，此流以均匀的方式出现（图2．27a）。高速时，出现了具有两个涡旋的新的宏观模式（图2.27b）。速度进一步增高，涡旋开始变成振荡（图2．27c－d）。在一定的临界值时，在圆柱后出现了湍流的无现和混沌的模式（图2．27e）。图2.27a－e示意出可能的吸引子：一个或多个不动点，分叉，振荡和准振荡吸引子，最终是分形混沌。
现代物理学和技术中，激光是一个著名的例子。固体激光器中有一根嵌进了特殊原子的材料棒。每一原子都可以由外部能量激发，导致光脉冲发射。材料棒末端的镜子可以用来对这些脉冲进行选择。如果脉冲是沿铀方向的，那么它们就会被多次反射，在激光器中呆的时间就比较长，而在其他方向上就会离去。在泵浦能量小时，激光器如同一盏普通白炽灯，因为此时原子相互独立地发射光脉冲（图2．28a）。到达一定的泵浦能量时，原子以一定的相振荡，形成单一有序的巨大长度的脉冲（图2．28b）。
激光束是一个由远离热平衡的耗散（不可逆）自组织形成宏观有序的例子。激光的能量的交换和处理过程表明，它显然是一个远离热平衡的耗散系统。
若是在从前，科学家便会假设是某种妖或神秘的力导致了这些系统变成有序的新模式。但是，正如在保守自组织的情形，耗散自组织可以用一般框架来解释，它具有大家熟知的精确的数学形式。例如，让我们从一个旧结构——均匀流体或杂乱发射的激光——出发。旧结构的不稳定性由外部参量的变化引起，最终导致新的宏观空－时有序。在接近不稳定点，我们可以区分出稳定的和不稳定的集体运动或波（模）。不稳定模开始影响和决定稳定模，因此稳定模可以被消除掉。赫尔曼·哈肯贴切地把这一过程称作“役使原理”。实际上，稳定模在一定的阈值受到不稳定模的“役使”。
在数学上，这种程序被称作快弛豫变量的“绝热消去”，例如，从描述相应系统中几率分布变化的主方程进行绝热消去。显然，这种消去程序可以减少大量的自由度。新结构的形成在于：剩余的不稳定模作为序参量，决定了系统的宏观行为。微分方程描述了宏观参量的演化。与微观水平上系统元素（如原子、分子等等）的性质不同，序参量标志着整个系统的宏观特征。在激光的情形，一些慢变化的（“无阻尼的”）模的幅度可以作为序参量，因为它们开始役使该原子系统。在生物学语言中，序参量方程描述了模之间的“竞争”和“选择”过程。但是，这些当然只是一种比喻的说法，它们是可以用上述的数学程序来精确表达的。
一般地讲，作为概括，一个耗散结构可以在一定阈值变得不稳定，可以被打破，从而形成新的结构。作为相应的消去了大量自由度的序参量的引入，耗散有序的形成伴随着复杂性的巨大降低。耗散结构是复杂系统的一个基本概念，它们在本书中被用来为自然科学和社会科学的过程建立模型。耗散结构的不可逆性，可能使我们回想起赫拉克利特的名言：一个人不能两次踏进同一条河流。显然，不可逆性违反了时间的不变对称性，这种对称性是牛顿和爱因斯坦的经典的（哈密顿的）世界的标志。但是这种经典的观点最终将被证明，它只不过是一个平稳变化世界中的特例。另一方面，赫拉克利特还相信，某个生序原理使无规的相互作用得到和谐，并创造出物质的新的有序态。我们必须要看一看，耗散系统的数学框架是否适合于这种规律的普遍特征。
一个物质进化的一般性框架将以所有物理力统一的理论为基础（图2．29）。从爱因斯坦的广义相对论推导出来的宇宙演化的标准模型，必须能够为量子理论的原理所解释。迄今为止，只有几个关于宇宙演化的数学模型或多或少令人满意，可以部分地接受实验的确证。然而，这些模型的大意是，复杂性不断增加的结构（基本粒子、原子、分子、行星、恒星、星系等等）的形成，可以用宇宙相变或对称性破缺来解释。
在宇宙进化中，在不可能一般地区分出基本粒子（尽管它们可以互相转变）的意义上，起始状态被假定是近均匀的和对称的。在宇宙演化过程中，临界值是随着对称破缺而一步一步地实现的，在此临界值处对称性被偏差和涨落打破，新的粒子和力产生出来，皮埃尔·居里说：“对称创造出现象。”但是我们必须意识到，对称破缺和相变的宇宙过程是通过高能物理学的实验和理论而进行的一种数学外推。
今天，物理学区分了四种基本力：电磁力、强力、弱力和引力。它们在数学上用所谓规范场来描述。基本粒子物理学力图用一种相应于宇宙起源状态的基本力把这四种物理力统一起来。电磁力和弱力已经在欧洲核子研究中心（CER）的加速环中非常高的能量区统一起来了（图2．29）。统一意味着，在非常高的能量状态，不可能区分开“感觉到的”弱力（电子、中子等）与“感觉到的”电磁力。它们可以用同样的对称群（U（1）×SU（2））来描述，即它们对于这种群的变换具有不变性。在较低能量的特定的临界值，此种对称性破缺成相应于电磁力和弱力的部分对称（U（1）和SU（2））。
物理上，这种对称性破缺意味着相变。它与两种新的物理力及其基本粒子的形成相联系。自发的对称破缺过程是众所周知的。例如，我们早餐食用的鸡蛋在其顶部的对称性位置是不稳定的。往何微小的波动都使得它自发地落到不对称的、但能量上稳定的位置。冷却到临界温度，铁磁体发生从无磁性到有磁性状态的相变。基本的两极自发地选取两种可能磁性方向之一，打破了自旋对称性，形成了新的宏观性质（磁性）。
重子（质子、中子等）与介于通过强力相互作用的复杂多样性，是由所谓的有3个自由度——即所谓的红、绿和蓝“颜色”——的夸克造成的。例如，一个重子由3个夸克构成，这些夸克是可以用3种颜色加以区别的。在其强子对于环境是中性的（没有颜色）意义上，这3种颜色是互补的。数学对称群（U（3））标志了夸克的这种颜色变化是人们所熟知的。
在电磁相互作用和弱相互作用统一起来以后，物理学家又力图实现弱电力和强力的“大统一”，并在最后实现所有四种力的“超统一”（图2．29）。已经提出了几种超统一研究纲领，例如有超引力理论和超弦理论。数学上，它们用具有更一般的对称结构的张量（“规范群”）来描述，其中包括了四种基本力的部分对称性。技术上，统一步骤的实现将伴随着非常高的能量值的增加。但是，“大统一”要求的能量状态难以在实验室里实现。因此，大统一的高能物理学，只能利用某些结果来确证，这些结果是实验室中可检验的或宇宙中可观测的（例如质子的衰变）。所有力的超统一将要求能量状态的无限增加，其物理原理仍然是未知的。所谓的“暴胀宇宙”假设了宇宙早期状态尺度极小，但是能量极高（“量子真空”），它由于量子真空态的斥力（反引力）面非常迅速地膨胀到宏观尺度。这种宇宙相变允许人们解释观测宇宙的一些熟知的性质，诸如恒星和物质的相对均匀的分布。在此暴胀期间，对于对称性和均匀性的某些细微的偏差会得到放大，直至其充分大以至可解释观测到的宇宙结构。在膨胀的宇宙中，物质的密度在各处并不完全均匀。因此，引力就会使得较密区域降低其膨胀速度并开始收缩。这些局域的事件导致了恒星和星系的形成。
一般地，从基本粒子到恒星和活的有机体的结构多样性的形成，是用相变来解释的，它们相应于平衡状态的对称破缺（图2．30，图2．31）。在此意义上，宇宙的物质进化被理解为伴随着保守结构和耗散结构形成的自组织过程。但是，我们必须意识到，宇宙的自组织在今天还仅仅是一种“常规的研究思路”，正如康德所说：我们得到的是一些或多或少合理的动态模型，它们或多或少得到了经验上的确证。宇宙演化的最初开端仍然是未知的。
如果我们仅仅采取经典的爱因斯坦的广义相对论原理，那么，如罗杰·彭罗斯和斯蒂芬·霍金从数学上证明的、宇宙演化的标准模型具有一个起始奇点，它可以被解释为大爆炸，即宇宙形成于一个数学点。但是，如果我们假定广义相对论（即爱因斯坦的引力相对论）和具有虚时间（而非实时间）的量子力学的统一，那么，如霍金已从数学上证明的，一个“平滑”而无任何开端的宇宙模型就是可能的，它只是一种按照统一的相对论量子物理学的数学原理的存在。
从哲学上看，这个模型使我们回想起巴门尼德的不变存在的世界。但是，量子力学的不确定性原理意味着，早期的宇宙不可能是完全均匀的，因为那里必定有粒子的位置和速度的某些不确定性或涨落。因此，宇宙可能已经经历了一个由暴胀模型描述的快速膨胀的时期，经过很长时期才导致了我们的复杂的宇宙。假定了“平滑”时间而没有奇点的量子物理学基本原理，将巴门尼德世界的平衡打破了，使之转变成了一个进化的复杂的赫拉克利特世界。
赫尔曼·邦迪、托马斯·哥尔德和弗里德·霍依尔已经在1948年引入了一个没有开端、没有终结的“永恒”宇宙的宇宙学模型。这些作者不仅仅假定在所有时间都有空间的均匀性和各向同性（大爆炸标准模型的“宇宙学原理”），还假定了时间的均匀性和各向同性：他们的“完全宇宙学原理”提出，宇宙不仅仅在所有的点和所有的方向，而且在所有的时间上，从整体看都是相同的，从而导致了一个定态模型。按照哈勃的见解，在红移和膨胀星系的距离增加之间有一种相关性。因此，如果要每个适当单位体积中的平均星系数保持不变，就必须形成新的星系以填补坐标网格同时变宽时出现的空穴。一个定态宇宙学的先验假设是物质的连续创造所必需的。
在最近的准定态宇宙学中，物质偶然地、非局域地创生这一奇怪的假设，是用宇宙所有地点和所有时间中都有新星系的局域诞生来进行解释，局域大爆炸的条件被假定在老星系的超质量中心得到实现。红移也被看作是标志了星系的年龄。在总的大爆炸以后相继出现基本粒子。原子、分子、星系、恒星等等的均匀进化（图2．30），被没有总开端的也没有终极的自催化、自复制的宇宙所代替，这里只有局域的星系的诞生、成长和死亡。在此情形，老的正在死亡的星系创造出新的星系物质，如承载新生命种子的植物和有机物。宇宙动力学将是巨大而永无终极的非线性的物质循环过程。
从神学观点看，这些模型并不需要任何创造者，因为它们的世界只不过一直是而且将来也是自满足和自组织的，没有开端也没有终极。从数学观点看，这些模型可以是非常精致的。但从方法论的观点看，我们认为，我们还没有获得一个完整的和自洽的结合了量子力学和相对论引力的理论，它将解释物质及其复杂性不断增长的进化。因此，我们仅仅能确信的只是这种统一理论应具有的某些性质。