有序何以能够从复杂的、无规的和混沌的物质状态中出现呢？古代的典籍中，哲学家试图将自然现象的复杂性追溯到第一原理。天文学家提出的数学模型，是将他们常见的、无规的、复杂的行星轨道归结为规则的、简单的球体运动。简单性被理解为真理的特征，直至哥白尼也是如此（2．1节）。牛顿和莱布尼茨把某些新东西加进了运动学模型的理论中。微积分使得科学家可以计算一个物体的瞬时速度，并将其形象地表示为该物体轨迹的切向量。速度向量场成为动力系统理论中的一个基本概念。牛顿和爱因斯坦的宇宙理论，使用的是完全确定论的动力模型（2．2节）。
但是，彭加勒发现，从长远观点看，这些模型可能都是不可计算的（多体问题）。甚至对于一个完全的确定论世界，拉普拉斯妖——它可以长期地对宇宙进行计算——的假设也暴露出只不过是一种幻想的虚构。混沌不仅仅出现在天上，也出现在量子世界中（量子混沌）（2．3节）。从方法论的观点看，非线性是混沌的必要条件而不是充分条件。它也使有序的出现成为可能。在现代物理学框架中，宇宙中多种多样结构的出现，包括从基本粒子到恒星和活的有机体，都是用平衡态的相变和对称破缺来建模的（2．4节）。但是甚至从霍金以来，我们也仍未获得一种完整的理论来解释复杂性不断增长的物质进化。前苏格拉底的惊奇——“存在着某种东西而非一无所有”——仍然没有得到解决。
2．1亚里士多德的宇宙和赫拉克利特的逻各斯
前苏格拉底以来，自然哲学的一个基本问题是，有序是如何从复杂的、无规的和混沌的物质状态中出现的。前苏格拉底哲学家们所做的是把自然现象的复杂性按经验还原为“原初”即“原素”。让我们来看一些例子。米利都的泰勒斯（前625－前545）是第一个自然哲学家，据说他证明了第一条几何公理，他认为只有物质性的基本因才可能是万物的原初因。泰勒斯主张，水或湿是第一因。他的证据来自观察：万物的繁茂和种子都与湿有关，而湿物的自然基质就是水。
阿那克西曼德（前610－前545），泰勒斯的学生和同事，扩展了泰勒斯的自然哲学。为何水是万物的第一因？它只是存在于连续的紧张和对立之中的物质的多种形式之一：热对冷、湿对干……因此阿那克西曼德主张，“存在物的起源和第一因”是“无限的不定性”的原初物质，相反形式的物质从中产生出来。相应地，我们必须把“无限的不定性”想像为原始状态，此时物质不受限制，也没有对立，因而在任何地方都有相同的特征。因此，这是一种完全均匀的、对称的初始态。对称性后来发生了对称破缺，于是世界及其所有可观测的对立和紧张就产生出来：
不断发生着的物质分裂创造了这个世界，火球从中产生出来，它包围着气，气又包围着土，如同树皮围绕树干；当它进而分裂开来，就形成了一串圆圈，太阳、月亮和星星都各处其所。
阿那克西曼德在其宇宙起源论中所描述的随后的物质状态因此就决不是混沌的；相反它们是由新的部分有序所决定的。阿那克西曼德早期的生物进化思想更有吸引力。他主张，最初的人为海中动物所生，出生后他们很快就能独立谋生，正如他观察到有几种鲨鱼的情形就是如此。一个世纪以后，人们开始寻找海中动物的化石证据，来证明人是从海中诞生的。第三位著名的米利都自然哲学家是阿那克西米尼（约前525），他被认为是阿那克西曼德的同事。他把变化看作是凝聚和稀散的外部力的结果。在他看来，各种形式的物质都可以作为基本物质。他选择了气：
稀散，使之成火；凝聚，成风；然后，成云；进一步，更强的凝聚，就成水；再后，成土；最后，成石头；万物都是由这些东西产生出来的。他还主张，永恒的运动是转化的缘由。－－他说，冷使物质收缩和凝聚，相反，热却使之稀薄和散开。
因此，阿那克西米尼主张，外部的力量使得多种多样的物质状态从共同的原初物质产生出来，并相互转化。
爱菲索的赫拉克利特（约前500）常常被称作“晦涩哲人”，他对我们的主题具有特别显著的意义。他的语言的确深奥难懂，多为预言式语言而不是严肃的科学语言，充满着深层隐喻。他采用了阿那克西曼德关于自然界充满斗争和对立面紧张的学说。他认为，原初物质——万物之源，自身处于变化中，因而也就是火：
闪电（即火）指引着一切。—这个世界的秩序也是如此，一切都不是任何上帝创造的，也不是任何人所创造的，但它过去、现在都是永恒的活火，按照一定的尺度燃烧和熄灭。
赫拉克利特进一步阐述了所有的物质状态如何能够被理解为原初物质——火——的熄灭形式。在我们的时代，物理学家维纳·海森伯声称：
在这一点上，我们能够以某种方式说，现代物理学十分接近于赫拉克利特的教导。如果我们替换一下“火”这个词，就几乎一字一句地重复赫拉克利特的说法来作为我们现代概念的表达。能量的确是质科，所有的基本粒子，所有的原子，以至万物总的说来都是由它构成，而且同时能量也是那运动着的东西……能量可以转化成运动、热、光和张力。能量可以被看作是世界上的一切变化的原因。
的确，这个物质世界由对立条件和倾向构成，然而它们却借存在于隐藏着的和谐而保持着统一性：“对立事物的斗争走向联合，从多样性中产生出最美的和谐，斗争使得万物以这种方式产生出来。”隐藏着的对立面的和谐因而就是赫拉克利特的宇宙规律，他称之为“逻各斯”。
当对立面的斗争结束时情况如何呢？按照赫拉克利特的看法，这个世界就进入到一个绝对的平衡终态。爱利亚的巴门尼德（约前500）描述了这种物质状态，在此不再有（虚空）空间的变化和运动。物质在任何地方都是平均（均匀）分布，没有任何一个方向对于可能运动是优先的（各向同性）。值得注意的是，无限被看成是不完美的，因而假定有限的物质分布。以这种方式，巴门尼德提供了一种世界图像，它是坚固的、有限的、均一的质料球体，没有时间、运动或变化。这种无变化存在的爱利亚哲学，的确是要批判赫拉克利特的永恒变化哲学，认为它不过是一种感官的幻觉。这种爱利亚哲学，在历史上对后来的柏拉图的影响，体现在他对虚假变化的批判中：虚假变化是在感官的感知中产生的，而真实的世界是不变的理念存在。但是从自然哲学的观点来看，巴门尼德描述的世界并不必然与赫拉克利特的教导相对立；在他的宇宙发生论中，它完全可以被理解为最高对称性的奇点终态。
在把水、气和火当作原初元素之后，就容易将它们设想为世界的原材料。恩培多克勒（前492-前430）迈出了这一步，并把土作为第上四种元素加入到火、水和气之列。这些元素可以自由地以各种比例混合和结合，也可以分解和分开。那么恩培多克勒把什么作为自然界的不断变化和运动背后的永久原素呢？他认为，首先是存在着四种元素，它们来自自然和机遇，而不是来自任何意识意向。变化是这些元素之间的反复作用即混合和分离引起的：“我要告诉你们另一件事：任何质料事物都既不会诞生，也不会走向毁灭。有的只是：混合和混合物的交换。”元素之间的这些反复的作用，是两种基本的力量引起的；他将吸引称之为“爱”，排斥称之为“恨”。这类似于中国哲学中的阴和阳。恩培多克勒提倡一种不断的转化过程，即元素的结合和分离，在此过程中元素则保持下来。他并没有把这些转化过程设想为完全机械性的（后来的原子论者则这样设想），而是设想为生理性的，特别是他把有机体的代谢过程看得高于无生命的自然界。
在他的医学理论中，平衡被理解为真正的比例关系。因此，健康就意味着相反成分的某种特殊的均衡，只要其中一方占了上风就会引起疾病。如果我们考虑现代细菌学及其对于人体中抗体的理解，那么恩培多克勒的这种观点是多么的贴切。
阿那克萨戈拉（前499-前426）被认为在许多方面都精练了前人的教导。他像恩培多克勒一样，发展了一种物质混合理论。但是他将恩培多克勒的四种元素代之以数目无限的实体，构成这种实体的是种子微粒或同样大小的微粒。它们数目无限，也无限地小，即假定物质是无限可分的。颗粒连续不断的思想就不可避免要产生出来。阿那克萨戈拉也试图以这种方式来解释颜色的混合，他说过雪在一定程度上也是黑色的，不过白色在此处于支配地位。所有的事物都包含在每一事物之中，但是其中一些在混合关系中处于支配地位。
比起他的一些前人，阿那克萨戈拉显然试图在自然哲学中给天体现象和运动以物理解释，在古希腊的数学天文学中仅仅是从运动学角度描述它们的。于是在他的宇宙学中，他已不停留在单一的起始态：均匀的物质混合。阿那克萨戈拉把一种非质料的原初力量称作“精灵”，它使得混合物进入漩涡运动之中，并根据它们各自的速度把种种事物分离开来。土聚集在漩涡的中间，而更重的石块则向外猛冲而去，形成了恒星。它们的发光被解释成其群体的发热，并被归结为它们的飞快的速度。阿那克萨戈拉的漩涡理论，到近代在笛卡尔那里再现出来，后来又以更精致的形式再现在康德-拉普拉斯行星系统的机械起源理论中。
近代自然科学中，原子论已被证明是一个极为成功的研究纲领。哲学史上，德谟克利特的原子理论常常被看作赫拉克利特的变化哲学和巴门尼德的不变存在原理的结果。德谟克利特区分了“充满”和“虚空”，最小的不可毁灭的原子和虚空相应于巴门尼德的“存在”和“非存在”。赫拉克利特的复杂性和变化性，从原子的不可区分的构型中衍生出来。虚空空间被假设为均匀的和各向同性的。
在质料组合中，原子的不同在于其形式、位置以及种种构型。为了表示出原子的构型，将其比作语词中的字母序列，就导致了这样的假设，即原子思想只有在使用拼音文字的文化中得到发展。事实上，在中国，传统上使用的不是拼音文字而是象形文字，人们不知道粒子的思想，流行的是自然过程的场和波的概念。德谟克利特的原子按照必然性以不断旋转的方式运动。在此，与后来的亚里士多德的概念不同，运动仅仅是指虚空中的位置变化。所有的现象，所有的生成和腐朽，都是组合和分离的结果。物质的聚集态如气体、液体或固体，都用原子的不同密度和运动潜力来解释。用今天的结晶学的观点看，德谟克利特的思想——甚至固体中原子在其位置上也发生着振动——是值得注意的。
柏拉图在他的对话《蒂迈欧》中，引入了第一个数学的原子论模型。变化、混合和分离，都要追溯到前苏格拉底时期就已经说过的不可改变的数学规则性。在恩培多克勒的四元素即火、气、水和土中，已经有了一种分类，立即就可以借用。泰阿泰德全部采取了完全确定性的规则物体，它们在三维（欧几里得）空间都是可能的：四面体、八面体、二十面体、立方体和十二面体。因此，柏拉图所主张的，也就是要以这些几何建筑块来解释恩培多克勒的四元素。
柏拉图对其元素有意要避开德谟克利特的“原子”表示法，因为它们可以分解成独立的平面图形。于是，四面体和二十面体具有等边三角形的面，它们分成两半时得到直角三角形，其边长分别是1、2和
，而立方体的面分成两半时得到直角三角形，其边长为1、1和平方根。结果是，像水、气和火那样的“流体”是可以相互结合的，而以土作为建筑块所构成的固体，因其不同的三角形，只可能转变成其他的固体。
于是柏拉图就发展起一种基本粒子的物理学，其中特定的元素是可以相互转变的，“基本粒子”（即相应的组元三角形）可以按照几何定律发生着“反复的作用”。例如，元素的转变是沿其边切开造成的。柏拉图之所以使其成为可能，这有赖于固体角度的锋锐。较为锋锐的平面角可以劈开具有规则角度的多面体。于是，所有的四面体、立方体、八面体、二十面体，排在前面的都可以劈开排在后面的多面体，但不能劈开排在前面的多面体或同样的多面体。这种自然哲学的结论中，火可以分离或分裂所有其他元素，土只可以分离或分裂气和水，气则仅仅可以分离或分裂水。
柏拉图断言，元素的大小是不一样的。例如，为了解释火能够引起固态形式的水转变成液态形式的水，他认为，元素在液态时尺寸要小一些，更有流动性，而在固态时其尺寸就要大一些。
离开火被称作冷却，在离开火以后的状态称固化。火和气可以通过土建筑块（立方体）中间的间隙而不受阻碍，也不会分裂土元素。气凝聚起来后不可能被分解，也不毁灭此元素。气的凝聚意味着八面体以最佳表面构型积累起来。即使是火也难以穿透进其中必然会留下的间隙，因其体面角度比所有元素的都要小，不会破坏八面体。对于水，只有火才可能破坏最强的凝聚。相邻二十面体的体面角度之间的间隙既不允许土穿透也不允许气穿透。只有火（四面体）可以穿透和分解此种结合。
的确，柏拉图发展了一种内部目洽的数学模型，如果人们接受他的学说——尽管它有点专断——作为对元素进行解释的起点，实体的各种聚集态和反复作用都可以由此得到解释。这种自然哲学自然会引出一些奇怪的荒谬结论。不过，我们在此遇上了科学史上以简单的几何定律来解释物质及其状态的首次尝试。这在现代基本粒子物理学中得到了高度发展。海森伯注意到了这一点：“……基本粒子具有柏拉图描述的形式，因为这是数学上最美、最简洁的形式。因此，现象的终极根源不是物质，而是数学规律、对称性、数学形式”。在古代和中世纪，柏拉图的数学原子论没有得到多少支持。对于他的后继者来说，他的几何学物质理论的基本问题在《蒂迈欧》中已经是明明白白的了。如何来解释活的有机体的功能呢？一定的**形式是为了满足一定的生理目的（例如，食管的形状是为了同化食物），这种主张，在任何情形下都难以从规则固体的理论中推演出来。此外，以几何图形的“活跃”和“僵死”为基础来解释生命的变化动搏过程，在那个时代的人们看来也必定是完全不自然的、推测性的和冷僻遥远的。在我们这个时代，人们仍然难以理解这种迂回：今天的科学解释中采取的是复杂的抽象数学理论。亚里士多德的自然哲学就从这里开始了。
亚里士多德主要以活的有机体如植物和动物的功能为基础，来阐述他关于自然的均衡或“平衡”的概念。生命的过程和周期是我们从日常经验中所熟知的。用我们熟知的东西来解释这个世界，比起用那些我们不熟悉的陌生的东西来进行解释，不是更清楚一些吗？按照亚里士多德的见解，科学的任务就是对自然的复杂性和变化的原素和功能作出解释。这是对那些自然哲学家的一种批评，他们用个别的实体来作为原素的证明。一个个的植物或一个个的动物，都不仅仅是其质料建筑块的相加之和。亚里士多德把构成个体存在的东西称作一般形式。由形式塑造的东西称作物质。形式和物质都不是自己能单独存在的，相反它们是通过抽象提取出来的自然的原素。因此，物质也是以使之形成的潜能为标志的。在物质形成之前就已存在着实在。
我们所观察到的真正的活的生物体都处在不断的变化之中。赫拉克利特在此是正确的，而巴门尼德把变化看作幻觉则是错误的。变化是真实的。按照亚里士多德的看法，赫拉克利特用特定实体（火）来证明变化也是不对的。亚里士多德是用第三种原素来解释那些变化，这第三种原素与物质和形式并列，没有形式就没有适当的变化。幼苗和孩子是弱小的、不成熟的。它们得以生长是因为它们与其自然趋势（形式）相一致，这意味着长大变强和成熟起来。因此，一般地说，变化决定着运动，使之从可能变成现实，即“潜能实现”（中世纪人们的说法）。物理学的任务，就是研究自然界中在此综合性意义上的运动。自然——与人所制作的艺术品或技术工具相反——被理解为所有事物，它自己带着运动的原素。如果我们按照亚里士多德的指示来进行思考，则正如日常经验告诉我们的，首先是对于植物、动物和人们的生命过程，他的说法完全是合理的、适当的。自然并非一块巨石，可以任凭人们将其破裂成一块块石块。自然自身被设想为一个理性的有机体，其运动是必然的、合目的的。亚里士多德区分了两类运动，即由大小的增加或减少引起的量的变化，由特征转变引起的性质变化，以及由位置改变引起的空间变化。亚里士多德规定了因果性的四个方面作为变化的原因。为何植物会生长？这是因为：①其质料组分使得生长成为可能（质料因）；②生理功能决定了其生长（形式因）；③外部环境（土、水和阳光等等营养物）推动着生长（动力因）；④与其终极目的相一致，即奔向其最完美的形式（目的因）。
亚里士多德然后就运用这些同样的原理——它们显然是从植物、动物和人的生命循环中推演出来的——去解释狭义上的物质，即后来被称作无机部分的自然。亚里士多德在此又从直接的经验推进了。我们在此遇到的，不再是作为自然界独立建筑块的众多元素；而是我们所经验的特性，如温暖和寒冷、湿润和干燥。这些特性的结合产生出以下决定元素的特性对：热－干（火）、热－湿（气）、冷－湿（水）、冷－干（土）。这里排除了同时出现热－冷和湿－干。因此，元素只有4种。这种推演后来受到了批评，它是主观任意的，但是它表明了亚里士多德的方法，即不是从抽象的数学模型进行推导，而是直接从经验出发进行推导。在真实的物体中，都或多或少、或强或弱地含有火、气、水和土，它们都处在不断的转化之中。按照亚里士多德的观点，用热的手段来驱除水中的冷就形成了气，而排除气中的湿就形成了火。自然的变化就被解释为成熟和转化过程。
这种处于支配地位的有机自然哲学就其那时的状况，如何能为数学自然科学提供物理解释呢？基本的空间运动只有两种，即直线运动和圆周运动。因此必定有某些元素，使这些基本运动自然地出现。其他物体的运动是由这些元素及其自然的运动来决定的，每一种运动都受此运动支配。最完美的运动是圆周运动。它是可以一直运动下去的，这就是为什么要规定一种不朽的元素。这就是第五种元素（精英），它构成了不变的大球和恒星。尘世（月下）世界中的不断变化性，与天上（月上）世界的不变现则性区分开来。这些转变过程中伴随着那四种元素，它们具有独特的直线运动，特别是具有指向世界中心的运动，其中重元素土和水竞相奔向其自然的中心，而指向月球圆周的直线运动中，轻元素竞相向上奔向其自然的归宿。
在这些自然的运动中，还有自由落体运动。但是，亚里士多德并没有像伽利略那样，以理想实验形式从独立的运动出发来进行探讨。在复杂环境中观察到的落体，没有从其摩擦（“耗散”）力中抽象出来。在其自由降落过程中，落体在空气介质中下落如同石头在水中下沉。因此，亚里士多德把自由降落想像为一种流体动力学过程，而不是一种真空中的加速过程。他假定了一种恒定的降落速度u，它正比于物体的重量p，反比于介质（例如空气）的密度d，用现代表示法就是。u-P／d。这个比例方程同时也为亚里士多德反对原子论者的虚空提供了一种证据。在真空中，密度d＝0，所有的物体都将无限快地降落，这显然是不会发生的。
（人为）推动的运动的一个典型例子是投掷，它也是在其复杂的“耗散”力的环境中来考察的。按照亚里士多德的观点，非生命物体的运动只是不断的外部运动因的结果。想像一下，古希腊的颠簸的道路上的两轮车，当驴子（或奴隶）停止推或拉时，车就会停下来。但是为何当一块石头从手中投掷出去后它还继续运动呢？在亚里士多德看来，在虚空中是不可能有超距作用的。因此，亚里士多德说，投掷者把运动传递给了石头周围的连续介质，这将石头推到远处。对于推动或拉动的速度u，亚里士多德断言，这里有比例关系
U-K／p，K是所施加的力。当然，这些并非是与测量的量相联系的数学方程，而是定性的决定性因素的比例，在中世纪的亚里士多德派的物理学中它首次被表述成了这种形式。于是，与伽利略-牛顿的动力学相反，在亚里士多德的动力学中，所有的位置（直线）变化都需要有某种运动因（力）。中世纪的冲力论改变了亚里士多德的动力学，把运动因归结到投掷出去的物体中的“冲力”，而不是由外部媒介进行的传递。
亚里士多德派的动力学是如何解释天上的宇宙规律的呢？宇宙模型的中心对称性以（未受力的）球体的圆周运动——这被认为对于“天上”元素是自然的——为基础，以及以宇宙中心的自然中心理论为基础。托勒密进一步以这个各向同性模型为基础，用一种三段论的充足理由律来解释地球的位置。假定所有方向都是完全等价的，地球为何要向这一方向或那一方向运动就是没有理由的。
地球处于中心的中心对称模型是亚里士多德的老师柏拉图提出来的；在地球周围的整个天空，都围绕着一条穿过地球的天轴向右旋转。太阳、月亮和行星都在球面向左旋转，它们与地球的距离依次是：月亮、水星、金星、太阳、火星、木星和土星。最外层是带着恒星的球面。按照柏拉图-毕达哥拉斯概念，旋转周期相互之间具有整数关系。所有的旋转时间有共同的倍数，在其结束处所有的行星正好又处在相同位置。它们的运动都会各自产生出一种声音，因此球体运动的音调合在一起就形成了天球的和谐，与校好的音阶一致。宇宙的几何的、算术的和美学的对称性，在环宇中奏响一种天球的和谐音乐。随后，精确的观察使人们对这种强调宇宙对称性的模型产生疑问。一个困难的问题来自不规则的行星轨道，特别是它们的逆行运动。天空中的不规则性引起了人们的不安，特别对于承袭毕达哥拉斯传统的哲学家更是如此，他们已经习惯于把天上——与地球相反——理解为永恒对称的、和谐的领域。
柏拉图提出了一个著名的问题，以减少天上运动的复杂性：使用规则、有序的圆周运动来“拯救”行星现象；这是一种运动学的解释。当波加的阿波罗尼（约前210）建议放弃天球的共同中心时，已经提出一个观察曲线的精确模型。但是，仍然保持了球形的行星运动和等速球体。按照这种主张，行星在球面上作匀速转动（本轮），它们的中心被设想成沿中心点（地球）的一个大圆圈（均轮）上作匀速运动。通过适当地调节速度和两个圆圈运动的直径并变动其运动方向，就有可能作出某种未预料的曲线，而这些在从开普勒到托勒密的天文学中都找到了部分应用。一个个模型的球体对称性因而得到了保留，即使它们不再有共同的中心而是有种种不同的中心时也是如此。
下面的本轮-均轮技巧显示出，通过适当地把匀速的圆周运动结合起来，可以得到多种表现的运动形式。这使得柏拉图派的哲学家的观点更容易理解：在现象的变化背后是永恒的不变的形式。在图2．1中，一个椭圆的轨道是由均轮的运动与本轮的运动结合而成的。图2．2显示了一种封闭的旋轮线。以这种方式，行星与地球之间的距离的变化也就被表示出来。原则上，甚至角度的形象也可以产生出来。当本轮的直径接近于均轮的直径时，就完全是一条直线了。如果人们改变一个行星的从东到西运动的速度，使之沿一个本轮从西到东运动，那么通过适当地组合一个本轮运动和一个均轮运动，还可以产生出三角形和长方形。
如果人们使天体沿第二个本轮作圆周运动，这第二个本轮的中心点是沿第一个本轮运动的，那么就可以产生出多种椭圆轨道、反映-对称曲线、周期曲线以及非周期轨道和反对称曲线。从纯粹的数学和运动学的观点看，柏拉图的“拯救现象”问题是完全解决了。因此，柏拉图式的以匀速圆周运动（被阿波罗尼和托勒密进行了修订）来减少复杂性的做法，原则上也许直至今日还对科学有影响。无论如何，它是不可能由曲线途径的现象学描述来否证的。特别是，从这种观点来看，无论是在所谓的哥白尼革命中将地球和太阳的位置对换，还是把圆周轨道改变成椭圆轨道的开普勒变化，都显得是次要的，因为他们的起始条件都可以追溯到与本轮-均轮技巧符合的对圆周运动的组合。这就带来了两个问题：①这种断言是如何在数学上得到支持的？②如果它得到这种支持，那么它为何在现代科学的曲线理论的应用中却没有起作用呢？为了精确地对第一个问题作出一般性的回答，有必要返回到分析几何的现代结构。但是在历史上，哥白尼和开普勒也知道，他们所用的曲线（例如椭圆）也是可以通过本轮-均轮技巧来重构的。
首先，我们必须记住，平面上的点可以用复数X＝X＋iy＝
reiθ来代表，相应的笛卡尔坐标是（x，y）或极坐标是（r，θ）。复数的加法相当于向量的加法。一个具有中心c、半径r和周期T的匀速圆周运动可以表示为
z＝c＋rei((2πt/T)＋α)＝c＋re((2πt/T)＋α)
（2.1）
式中该点的时刻是t，初相是α。现在假定点A按照方程z＝f（t）运动。让点B相对于A作圆周运动，它有半径r，周期T，初相a。B点的运动就由如下方程描述
z＝f（t）＋rei（2πt/T＋α）
（2.2）
于是它就可能描述点B沿某个本轮的运动，其本轮中心绕A运动。新的本轮的加法在数学上是把一个新项re
ei（2πt/T＋α）加到z的表达式中。显然，r
ei（2πt/T＋α）＝reiαe2πit/T＝aeikt其中复数a≠0，K是实数。在逆行运动情形下，T或k分别为负。n个本轮叠加成的运动于是表示为方程
z＝a1eik1t＋a2eik2t＋…＋aneiknt
（2．3）
让我们首先考虑平面Z＝f（t）上的周期运动（例如其周期为2π）数学上，我们假定f在有限变化中是连续的。那么对于f可以表示为一个均匀收敛级数
f(t)＝
（2.
4）
n＝－8
因此，容易从数学上证明f（t）以通过求和获得近似
Sn(t)＝
（2．5）
其精确度随着N的增加而增加。
函数f的确是均匀收敛的。因此对于任意小的ε＞O，可选择No使得对于所有的N≥No和所有的t，都有
|f（t）－SN（t）|<ε
（2．6）
令人惊奇之处在于，这种结果意味着，一条（有限变化的）恒定运动轨道，可以用有限的本轮运动的叠加，获得任意精确的近似值。
显然，我们迄今所用的不过是本轮周期的叠加，本轮周期如±2π、±π、±（2／3）π、±（1／2）π、±（2／5）π、…。特别是，只有可公度的叠加才是允许的，这可以用整数的比来表达，从而符合毕达哥拉斯传统。但是，如果我们允许不可公度周期，那么事实上非周期曲线也可用本轮叠加来近似。这种结果在数学上为哈罗德·玻尔关于近周期函数的命题所支持（1932）。第二个问题是，为何解释运动轨道的本轮－均轮技巧被抛弃了，指出观察中遗漏了曲线是无法作出回答的。数学上，观察曲线——无论它是多么的稀奇，只要用柏拉图－阿波罗尼的古代的降低复杂性的策略，原则上就是可以解释的（前述是非常宽的数学条件）。
不过，在此决定性的问题是，行星的“真正”运动是什么，它们本来是组合的、匀速的和末受外力的圆周运动，是我们在地球上看起来显示为椭圆轨道，还是它们事实上是受外力被迫循着椭圆轨道运动。这是难从几何学和运动学上来确定的，而只能从动力学上来确定，即要用相应的受力理论来确定，因而也就是要从物理学上才能确定。
除了本轮－均轮技巧以外，托勒密还使用了假想的均衡点，相对于它，采取了匀速的圆周运动，即相对于地球作为中心，显示出非匀速的运动。这种技巧被证明在计算上是很有用的，但是违背了中心对称性，因而具有先验假设的效果，这在自然哲学看来是不能令人信服的，后来哥白尼就特别对此进行了批评。哥白尼交换了地球和太阳的位置，其理由来自处于支配地位的运动学。也就是说，某种运动学简化的描述是可能以较大对称性来实现的。因此，在日心说模型中，行星的逆行运动可以被解释为地球周年运动的效应，在哥白尼看来它比外层的木星、火星或土星运动得慢，而比内层的水星和金星运动得快。但是，哥白尼完全坚持了保守的自然哲学立场，因为他在“自然”圆周运动的意义上把更大的简单性看作是接近实在的标志。
近代天文学的第一位伟大的数学家约翰奈斯·开普勒认为，简单性信念也是颠扑不破的。他在1596年的《神秘的星际旅行者》中，开始多次尝试把规则体引入行星系统中，两行星之间的距离正是此规则体的内接球面和外切球面。土星、木星、火星、地球、金星和水星这6颗行星所相应的6个球面，恰好是一个处于另一个之中，而且以如下顺序分开：立方体、四面体、十二面体、二十面体和八面体。当然，开普勒的推测不可能推论到适合于一个世纪以后发现的天王星、海王星和冥王星。
开普勒是一位不折不扣的自然科学家，不能长期沉湎于柏拉图式的推测中。他在1609年写的《天文学通论》是一篇独特的文献，是在精确观测结果的不断增加的压力下，通过一步一步的研究来解决古老的柏拉图简单性概念。与哥白尼不同，开普勒将新颖的动力学论据加进了其运动学研究中。他与哥白尼的不同还在于，太阳不再被看作处于运动学的非正圆心点的没有物理学功能的东西，而是被看作行星运动的动力因。新的任务也就是要从数学上来确定这些力。开普勒的用磁场进行的动力学解释只是一次（不成功的）最初尝试。在后来的牛顿引力理论中才取得了成功。
天上（“月上”）世界的简单性和尘世（“月下”）世界的复杂性，在其他文化中也是普遍的。让我们来看一看古代中国的道家自然哲学。它确实是处在神话的边缘，逻辑论证也比古希腊自然哲学要少，更多是激起直觉和神往；然而，两者之间也有类似之处。道家把自然描述为巨大的有机体，受控于循环运动和节律，诸如世代、朝代和个体从出生到死亡的的生命循环，由植物、动物和人类构成的食物链，季节的更替，白天和黑夜，行星的升起和降落，如此等等。所有的事物都与其他事物处于联系之中。一个节律跟着一个节律犹如水波。什么样的力量是自然界中这种模式的终极因呢？如同恩培多克勒那样，道家理论中区别了两种相反的力量，即阴和阳，随其节律的增加或减少就支配着这个世界。《鬼谷子》（公元前4世纪）一书中写道：“阳循环返回其起点。阴极大时就返回到阳。”亚里士多德认为，所有的个体都带着其自然目的而自我运动。这里则是阴阳之道决定着个体的内部节律，那些能量也总是要返回其起点。道的循环运转模型，可以提供一系列的解释：天文学中历法的制订，气象学中的水循环、食物链和生理学中的循环系统。它对于自然中的生命节律是极富说服力的，人们天天都在体验着这种循环，并可以用来指导自己的生活。自然界表现为一个目的性的机体。
值得注意的是，中国的自然哲学中没有原子微粒概念，因而没有发展出西方文艺复兴意义上的数理力学。相反，其核心是自然界和谐的模型，其中节律波和场使得所有的事物都与其他事物相关联。声学的领先以及早期关于磁效应和电效应的见解，在这种自然哲学中成为可理解的。道家的观点更像斯多葛派的自然哲学，而不像亚里士多德的自然哲学。斯多葛派的自然哲学关注的核心也是如同水波的巨大连续统的传播效应。这个连续统就是斯多葛派的普纽玛，其紧张和振动被认为是决定了种种自然状态。自然的丰富多采的形式仅仅是由普纽玛的紧张变化造成的短暂模式。当然，现代的思维方式已经跃进为水波、声波的驻波模式或磁场的模式。然而，无论是斯多葛派还是道家的启发性背景，都不会导致可与以原子论自然哲学为背景的伽利略力学相媲美的声场或磁场的发展。对于从复杂、无规和混沌的物质状态中出现有序所进行的描述，仅仅是定性的，而且对地下和天上运用了不同的模型。
2．2牛顿宇宙、爱因斯坦宇宙和拉普拉斯妖
自古以来，天文学家和哲学家都相信，天上的运动是由简单的几何定律支配着。简单性不仅仅理解为方法上简单省力所需，而哥白尼却把它作为真理的一个特征。因此，从柏拉图到哥白尼的天文学学说都声称：要将天上系统的表面的复杂性归结为某种简单的真实运动的框架中！欧几里得几何学的基本概念赋予其简单的建筑块：圆周（罗盘）和直线（尺子）。与月上世界的简单性相反，月下的尘世世界倒是真正复杂的。因此它的动力学也就至少是不能在欧几里得几何学的框架中进行数学化的。那就是柏拉图的数学原子论很快就被忘记了的原因，而亚里士多德的见解——复杂的定性的自然动力学在原则上是不可能数学化的——影响着直到文艺复兴的科学研究。
早期的物理学家如伽利略克服了月上（“简单”）世界和月下（“复杂”）世界的界限。他们相信，天上和地下的自然动力学都是由同样的数学规律统治着。在技术上，伽利略简化了例如自由落体的动力学，他选择了一些可观测的、可测量的量而忽略了另一些约束。简言之，他创造出运用一种理想化实验情形的简化的数学模型。当然，甚至物理定律的天体模型也只考虑了几个参量，诸如行星的角速度和位置，并忽略了其他多种多样的约束条件（例如大球的密度、质量和摩擦）。从现代的观点看，甚至前苏格拉底哲学家，通过选择某些主导“参量”（例如水、火和土），也提出了关于自然界的复杂动力学的定性“模型”。
一般地说，观测一个系统，无论它是物理的生物的还是社会的，都可以从不同状态来进行。为观测现象建立模型的策略，自古以来可能已有变化，但是建模活动的目标在某种意义上却是相同的：被观测系统中状态变化的动力学。显然，真实的状态不可能仅仅用几个可观测参量来描述，但是却假定这是可以做到的。在早期的天文学和力学中，这是数学理想化的第一步，并导致了一组理想状态的几何模型，这在今天称作模型的态空间。前苏格拉底的自然“模型”不同于现代的模型，不仅仅在于数学化和可观测性，还在于真实系统的实际状态与几何模型点之间的关系被认为是本体论上所需要的，而在现代系统中它却是由于理论、预测等等缘故而保留下来的虚构。
最简单的框架是一个参量的模型。早期医学对哺乳动物的认识指出，健康或生病的状态与温度这个参量有关联。许多动物所表现的一些特征可以说也就是对其他动物的情绪状态：狗的耳朵状态相应于它的害怕状态，而犬齿暴露程度则是其愤怒程度的定性“参量”。把两者组合起来，就更恰当地代表了狗的情绪状态。行星的状态在中世纪可用其角速度和场所来定义。其他系统的状态可能需要两种以上的特征来定义（例如用温度、血压和脉搏速率来表示哺乳动物的健康状态）。
在任何情况下，如果这些参量是用数值显示的，那么相应的状态空间就可以用几何空间来表示。因此，二维状态空间中的单个点所表示的两个数值参量的值，就可以表示在欧几里得几何平面上。系统状态的实际变化是可观测的，可以表示成该态空间的一条曲线。如果这条曲线上的每一个点带着记录下观测时间的标志，那么我们就获得了该模型的轨迹。有时，引进另一个时间坐标，用其时间序列来代表参量的变化，这也是很有用的。这种表示叫做轨迹图。
中世纪的动力学概念，包括了这两种表示法。在十四世纪五十年代，波斯经院哲学家尼科尔·奥雷斯密引入了作图表示法或特质强度的几何图形。他主要是讨论了线质的情形，其延长用空间或时间（“特质经度”）线段来度量。他主张，间隔的每一点的强度，用该点的垂直纵坐标（特质纬度）来度量。线质的量的图示为两个参量的图形。在图2．3中，相应于经度AB的间隔时间的匀加速运动中，AB的每一P点的纬度是纵坐标PQ，其长度是相应于该瞬间的速度。此图形的直线DC代表速度状态的轨迹图。所谓的默顿规则立即就从图2．3的几何证明中推导出来：从图2．3中的梯形的面积公式中得出通过的距离：
s＝1/2（vo＋vf）t。
也许这种解释是以把这种面积看成是由许多垂直线段（“不可见量”）为基础构成的，每一线段都代表以非常短（“无限小”）时间中的速度。默顿规则表明，甚至在这很早的状态空间探究方式中，一个好的几何表示就不仅仅是一种有用的形象化，而且还发现了关于动力学的新的概念。当然，奥雷斯密和默顿这些学者最初都只是想把关于特质的亚里士多德类型的物理学加以数学化。但是，他们的工作却在欧洲引起了广泛的沮丧，从而引起伽利略写了一部著作。伽利略著名的《关于两种新科学的谈话》（1638）中，引入了近代力学的基本概念，提出了众所周知的关于从静止开始的匀加速运动（自由落体）的距离公式S＝1/2at2，并给出了相应的证明及类似于奥雷斯密思想的几何图形。
由于牛顿和莱布尼茨，动力系统理论被加入了新内容。微积分允许人们把瞬时速度计算为速度函数的导数，并可以图示为相应曲线的切矢量（图2．4a）。速度矢量场已经成为动力系统理论中的一个基本概念（图2．4b）。用微积分的微分程序通过轨迹决定速度矢量。与此相反，微积分的积分方式使人们可以通过速度矢量决定轨迹。
动力系统的建模策略首先是选择一个态空间，观测结果可以用几个参量来代表。连续的观测得出了此态空间的许多轨迹。在牛顿和莱布尼茨的微积分的意义上，速度矢量可以在这些曲线上的任意点导出，并描述它们在该点的固有动力学趋势。对于态空间任意点的速度矢量的描述，就定义了一个速度矢量场。充满着轨迹的态空间称作该动力系统的“相图”（图2．4c
）。这个动力系统的基本概念最初是亨利·彭加勒引人的。速度矢量场通过微分方法从相图推导出来。
当然，速度矢量场形象地表示了被建模的系统的动力学。实际上，进行长时间的广泛的观测，对于揭示系统——由相应的速度矢量场代表——的动力学趋势是必要的。此建模程序是恰当的，如果我们假定了：（a）一个观测轨迹的速度矢量在任意一点都精确地等于由该动力系统说明的矢量，（b）模型的矢量场是平滑的；“平滑”一词指的是直觉地认为在此不存在跳跃、不存在尖锐的拐角。在一维态空间的情形，矢量场由平面上的图像来说明。因此，如果此图像连续，其导数也连续，此图像就是平滑的。历史上，条件（b）相当于莱布尼茨著名的连续性原理，它在经典物理学框架中处于某种支配性地位。
一般地说，我们把建模程序概括如下：一个动力模型，它总是针对某一实验提出来的。我们可以设想一下如伽利略和牛顿使用过的实验室物理装置，或者生物学家对某些有机体进行的观察，或者甚至社会学家对某些社会群体的考察。动力学模型由态空间和矢量场构成。态空间是该实验情形的几何空间（例如，欧几里得平面或一般地某个拓扑流形）。矢量场代表了状态变化的习惯趋势，被称作该模型的动力学。我们如何才能找出轨迹从而找出系统的行为呢？从技术上看，这个问题是由获得该系统的相图来解决的。这意味着，我们必须要构造出该动力系统的轨迹。给定一个态空间和一个（“平滑”）矢量场，如果在切矢量的意义上，其速度矢量与矢量场的一致，在态空间的一条曲线就是该动力系统的一条轨迹［图2．5］。相应于零时刻的点叫做轨迹的起始态。这些轨迹被认为是，描述了系统的在一定时间间隔中的观测行为。而且，物理学家曾经雄心勃勃地力图实现对于无限长时间未来的预测，并计算出大自然的途径，就像大自然是一架大钟一样。
让我们扼要看一看牛顿的宇宙。它表现为通过使用牛顿、莱布尼茨和欧拉等人的数学工具，对动力系统理论的成功应用。牛顿用3个定律支配着实物物体的行为。第一定律（“惯性定律”）说，一个物体将保持匀速的直线运动，如果没有外力作用于它。如果的确有外力作用于它，那么其质量乘以其加速度就等于该外力（第二定律）。再加上第三定律就完成了基本框架：对于每一个作用总是有一个相反的大小相等的反作用。牛顿的宇宙由微粒构成，在空间作圆周运动，它服从欧几里得几何定律。这些微粒的加速度由作用于其上的力所决定。作用于每一微粒的力，是所有其他微粒的力的矢量和。如果此种力是一种引力，那么它在两个物体之间的吸引作用的强度，与两个质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。当然，在此还可能有其他类型的力。
实际上，牛顿的第二定律被理解为宏观宇宙和微观宇宙的所有自然力的一般图式。借助特定的力的定律，牛顿图式就翻译成精确的系统动力方程系统。如果已知种种微粒某一时刻的位置。速度和质量，那么它们以后所有的位置和速度都在数学上确定了。简言之，牛顿宇宙中的一个物体的状态，由位置和速度两个参量加以规定。牛顿轨迹由运动的动力方程来确定。如果起始状态已知，那么牛顿宇宙的行为看来就是完全确定的。这种形式的确定论对18世纪和19世纪的哲学有巨大的影响。牛顿的动力学被理解为大自然建立模型的基础科学。但是，这种力学模型当然只有在忽略摩擦的有限情形下才是有效的，它们从来没有在实验上完全实现过。大自然是如此的复杂，以致物理学家宁可观测非自然的（“人工的”）有条件限制的情形。在后面，我们将看见，物理学家对简单规律的信奉，完全忽略了起始条件和约束条件的复杂性，因而造成了确定论的、可以彻底计算的幻想模型。
按照牛顿的观点，在一种绝对空间－时间框架中只有一个真实的物质世界，我们可以在其中选择相对的参考系。这意味着，任意两个事件都被看作是客观可确定的，而不论它们是同时发生的还是在同一位置发生的。数学上，牛顿的绝对空间用三维欧几里得空间来表示，其尺度用尺子来度量，而时间则被看作是一维的欧几里得空间，其坐标t由标准钟来度量。
因为其绝对同时性，牛顿四维空间－时间被同时事件的最大子集划分为不同层次。每一层是一个可能的事件e的三维超平面t＝t（e），它将其因果性的未来——t＞t（e）层，与其因果性的过去——t＜
t（e）层——分隔开来。在图2．6a中，忽略了第三维空间，以使每一层都形象地表示为二维平面。这个因果结构包括了牛顿的假设：存在着任意远的以超距同时作用的信号。
牛顿的相对空间被兰格准确地描述为：不受外力以恒定速度沿直线运动物体的参考系的惯性系。在这许多可能的惯性系中使用哪一个，这并没规定从一个惯性系变换到另一个惯性系（伽利略变换），也给出了相应的坐标。力学定律对于这些变换是守恒的（不变的）。由于每一伽利略变换都有10个连续的参量（时间1个，旋转、恒速和平移共3乘3个），于是就可以推导出10个守恒定律。例如，时间坐标的伽利略不变量意味着能量守恒定律。非惯性系的参考系具有典型的效应。一个相对于固定恒星旋转的圆盘，其径向力是伽利略变换所消除不了的。简言之，在牛顿的空-时中，匀速运动被看作绝对的优先于加速运动。它的结构由伽利略变换群来定义。
本世纪初，爱因斯坦证明了牛顿的空－时模型局限在相对于高速光运动的低速运动。与任何运动参考系无关的常数c，是麦克斯韦电动力学中的一个因子。因此，牛顿的速度加和定律和伽利略的不变量在电动力学中不可能成立。在狭义相对论中（1905），爱因斯坦假定，光速恒定，物理定律相对于所有惯性系具有不变性（“狭义相对性原理”）；并为电动力学和力学推导出一个共同的空-时框架。闵可夫斯基用四维几何为爱因斯坦的狭义相对论的空－时建立起来模型。我们不应对四维性感到吃惊，因为牛顿的空－时中已经是三维（笛卡尔）空间以及一维时间坐标。
为了简单性起见，选取单位时规定光速等于1，从而长度和时间单位可以交换。空－时中的每一点都代表一个事件，它意味着在某一时刻的空间的某一点。由于粒子在时间中持续，因此它并不由点来代表，而是由一条线来代表，这条线被称作粒子的世界线。为了把闵可夫斯基模型表示出来，可以画出一个空－时系统，以标准时间坐标来度量垂直方向，两个空间坐标来度量水平方向（图2．6b）。
匀速运动的粒子由直线来表示，加速运动的粒子由曲线来表示。由于光粒子（光子）以基本速度c匀速运动，它们的世界线是直线，与垂直方向的夹角为45度。它们形成了一个光锥，具有共同的原点0。在所有的空－时点的光锥系统，被称作相对论空－时的闵可夫斯基模型。
光子的世界线的每一点总是处于光锥上，与此不同，任何以低于c运动的实物粒子的加速或匀速运动，其世界线每一点都必定总是处于光锥之中。由于实物粒子或光子的运动速度不可能高于光速，因此只有处于光锥上或是落在光锥内部的世界线才是物理上确定的。一个事件被看作是晚于0的，如果它处在0以上的未来光锥中；它被看作是早于0的，如果它处于低于0的过去光锥中。因此，光锥决定了相对空－时的因果结构。
在闵可夫斯基模型与普通的欧几里得表象之间，基本的差异在于，世界线的长度被解释为由物理钟度量的时间。因此，与牛顿绝对时间假设相反，时间测量变得与路径有关。所谓的“孪生子悖论”极为形象地表达了这种效应。在图2．6c中，一个孪生子留在匀速、缓慢运动的地球R之上，而另一个孪生子以极大的接近光速的速度进行了一次到靠近恒星S的地方的旅行。闵可夫斯基几何学预言，进行了旅行的那位孪生子在他从Q处返回时仍然年轻，而呆在家中的那一位孪生子却变成了一位老人。这当然不是科学幻想，而是闵可夫斯基世界线的时间测量长度的结果：闵可夫斯基距离RQ大于距离RS和SQ之和，这与通常的欧几里得解释相反。今天，对于以接近光速c运动的基本粒子，这些效应已经从实验上得到了很好的确证。
在闵可夫斯基空－时框架中，物理定律对于特定惯性系的不变性已经由洛仑兹变换所实现。具有伽利略不变性的牛顿空－时在极限的情形下仍然保持：诸如行星天体或地面上的弹子球的运动，它们的速度要远小于常数c。在此意义上，爱因斯坦空－时是经典物理学的顶点，而不是一场打破牛顿空－时的革命。
由莱布尼茨首先引入经典物理学的一个重要概念是能量，它包括系统的动能T和势能U。使质点从位置1移动到位置2完成的机械功，相当于在位置1和位置2之间的动能之差。如果机械功与从位置1到位置2的路径无关，则相应的力场叫做保守力场。摩擦力不是保守力。在一维情形，忽略掉摩擦力时，所有的力都必定是保守的，因为此时从直线上的一点到另一点只有唯一的路径。总能量T＋U在保守力场中是一个常量。
牛顿力学的一个重要应用是谐振子，如小振幅的单摆或弹簧上重锤的上下振动。在物理学各个领域中甚至在化学和生物学中，谐振子都是一种模型。例如，回忆一下电磁光波，在此发生着电场能和磁场能的振动。谐振子在技术中也为人们所熟知，例如线圈和电容中振荡的电流，这里摩擦力相当于电阻。在18世纪和19世纪的哲学中，单摆是机械宇宙的一个象征，它显得是完全确定的，并可由运动的牛顿方程进行计算。
因此，单摆可以看作动力学建模程序的一个经典例子。这种模型假定，摆杆轻巧而又坚固，上端的结合部完全无摩擦，底部的重锤沉重但体积非常小。重力总是将其垂直下拉。在图2．7a中，二维欧几里得平面中的单摆升高角度为a，重力为F，沿摆杆的拉力为Fcosa，力Fsina使之回摆。为了形象地表示出单摆的动力行为，必须建立起态空间和相图的动力学模型。单摆的状态是完全由角度变量α（α＝0和α＝2π表示同样的角度）和角速度v决定的。因此，我们获得一种二维态空间，它可以形象地表示为图2．7b中的循环圆柱。在圆柱中部的垂直圆圈代表了零角速度v＝0的状态。圆柱下部从前至后的直线是（零倾斜α＝0）轴线，单摆在此处于最低点。在起点（α，v）＝（0，0），单摆处于最低的静止位置。
由于在此没有摩擦和空气阻力，把单摆稍微向左边动一下后就会使它不断地来回摆动。在此态空间，相应于这个振荡运动的完整轨迹是一个圆圈，或封闭的环。在下一种情形中，单摆在顶部处于平衡状态，这是不稳定平衡。在左边的一个细微的触动会使得它向右边落下，并加快速度。当单摆通过摆动的底部时，角速度达到其极大值。在再向顶部返回时，单摆会慢下来。单摆再次在其顶部达到平衡。但是，当其处于旋转始态时，用了较大的力使之向右运动，那么其角速度就要大一些。在再次返回运动时，它会变慢，但是不足以在顶部静止下来。于是，单摆就会不停地顺时针旋转下去。在圆柱态空间的相应轨迹是一个循环圈。与慢的振荡不同，快的循环绕圆柱转动。实施多次的试验将揭示这个动力模型的相图（图2．8a）。在此有两个平衡点。在顶部是一个鞍点。在起始处是一个涡旋点，它不是附近轨迹的极限点。当把圆柱沿着直线通过顶部的鞍点从前向后劈开时（图2．8b），相图就更容易看清楚。
如果此系统不是封闭的，而是像物理现实中包括了摩擦效应，在起始处平衡点就不再是涡旋点（图2．8c）。它成为螺旋类型的吸引子。由于摩擦，单摆的任何运动最终都将静止下来，任何代表此单摆接近底部的慢运动，都将对称地趋向这个极限点。
在两维或更多维的情形下，还可以有其他类型的轨迹和极限集。例如，一个环可以是反对称的轨迹极限集（图2．9）；在三维系统中，可能出现环形圆纹曲面的极限集，甚至是其他更奇怪的极限集。
极限集使我们能够为一个演化系统建立平衡态的模型。关键的概念是被称作“吸引子”的极限集。数学上，一个极限集（极限环、循环、环形圆纹曲面等等）被称作一个吸引子，如果所有轨迹都反对称地趋向于该极限集的集合是开放的。大致地说，吸引子接受了极限集邻域中的绝大多数轨迹。代表了系统的可能动态平衡点的所有极限集中，吸引子是最引人瞩目的。在外在极限点的情形下，一个吸引子代表了一个静态平衡，而作为吸引子的一个极限环标志了一个振荡周期性平衡。单摆、弹簧或乐器的振动只是机械应用的若干种例子。我们在后面还将看到，振荡动力系统的周期平衡在物理学、化学、生物学和社会科学中都起着重要的作用。
在典型的相图中，将有一个以上的吸引子。相图将被划分为它们的不同的趋向吸引子的区域。划分的边界或区域被称作分区。图2.10中，有两个点吸引子，各具自己趋向轨迹的开放集和自己的分区。
在现实中，一个动力系统不可能被看作是独立于其他动力系统的。为了获得更适合的模型，我们将研究两个耦合的系统。一个简单的例子是两个时钟的耦合。历史上，17世纪克里斯蒂安·惠更斯观察到了这种特殊的系统。他注意到，挂在同