9页指出食物的加权指数已超过了1914年7月数字的97％，但补充说，假如把鸡蛋去掉，以人造奶油代替白脱油，并把鱼类和食糖的消费减少一半，则97％就会降低到56％。

    假如认为这个问题值得详细研究的话，是能够使指数更能代表货币购买力的真正变动的；其办法是把满足差不多同样**的所有主要物品归于一类，并按照每种物品在相对价格的各种情况下，在总消费中所占的比重来加权。如果在任何时候，都有某类商品A涨价，而另一类商品B跌价，那就必须考虑原来分配于基年的相对权数是否适合于现在的情况。分配于A的权数应予降低，并乘以其上涨的价格；分配于B的权数应予增加，并乘以其下降的价格。同目前采用的方法相比，用这种方法编制的指数，能更准确地反映平均价格的变化，从而使各种特殊需要得到满足。

    4．关于使用算术指数的另一些注意事项。

    当需要精确地比较两个指定年度的一般物价水平时，这种比较应该做两次，从每一端各做一次，并取其结果的平均值。这种方法几乎能够完全消除算术指数中某一缺陷的可能影响。它还有这样的优点，即如果两种结果相差不太大，我们就晓得，从两种基数所得的指数，会得到这两年之间经济情况相当可靠的结果。②

    ②弗勒克斯教授（参阅《经济学季刊》，1907年，第616页）采用这种方法对索尔贝克先生编制的指数及《经济学家》上的指数重新作了计算。整个说来，结果是满意的。在那里由前进后退所得的结果，差距都没有超过6％。也可参阅他于1921年1月在皇家统计学会上宣读的论文。

    假如只做一种计算，则起点或基数（或许多年的平均数）应从这样的一年中选择出来：在这一年中，所消费的商品数量及其价格都接近于该时期的平均水平。也就是说，基数一般应在该时期的中间去找。也可能发生这种情况，即物价最正常的那一年，消费数量却不一定最正常；这样就应当使这些年中第一年的价格等于100，而从第二年中取得权数。或者也可以计算整个时期的平均数。①

    ①例如吉芬在他对进出口实际数量的官方研究中，即以1861年作为物价基年，以1875作为权数基年。另一种更为精细的方法，即从许多年份中取平均权数的方法，见1888年吉芬为不列颠协会起草的题为《货币本位价值的变动》的报告。这个报告包括有同期不同基数的各种指数的有益比较。报告中由埃奇沃斯所写的附录，对较抽象和较一般的指数问题作了重要研究。报告中的主要统计表转载于鲍利教授《统计学原理》第九章。关于衡量货币一般购买力的方法的研究，在美国已得到很大的进展，特别是费雪和甘末尔教授；他们正想办法稳定美元，想办法创立一种官定本位作为长期债务的基础。

    不过，防止估计货币购买力发生大差误的主要方法，仍是做大量的这种估计；因为一些偶然的差误——即不是由计算方法引起的误差——是肯定可以彼此纠正的。正因为如此，所以在统计中需要做大量纯机械性质的工作。

    使我们更可以放心的是，虽然权数差误的范围可能比价格差误大，但害处却较少。因为，价格的每一差误都会在最后的结果中完全表现出来，而权数的差误却只在价格偏离平均数的那个商品的范围内有所表现。对价格接近平均数的商品，权数差误的影响很小。②

    ②射于靶子上的子弹，一般说来，分布在靶边的比靠近中心的为多。假如风向和射击都不偏斜，则多数瞄准射出的子弹都将在中心的附近。这即是说，权数的中等差误，在大多数情况下，只在结果中引起小的差误。为了特殊目的，有时不把某一价格的变动当作绝对的来看，而是和平均价格的变动比较。做法见于杰文斯《通货与金融研究》第八表，关于“物价的比例变动”。一种更清楚但比较复杂的方法是施密特在其所著《商品价格的波动》中所用的方法，他用占整个一页篇幅的一条曲线来表示每一组商品的价格运动，在其上以一条次生的曲线来表示一般价格的变动。

    5．几何指数的优点和缺点。

    算术平均指数的主要对手是几何平均指数，部分由于大权威杰文斯很赞赏它，所以必须提一提。它需要使用对数表或对数纸，但它的一般原理可以很简单地予以说明。编制几何平均指数的第一步是确定所要讨论的n组商品中各组商品的某年价格和基年价格的比例。把这些比例乘起来，其乘积的n次方根就是该年的几何指数。①

    ①几何平均指数的弱点可以用一个极端的例子来说明。从前，一个制造玩具的山村从山谷里一家锯木厂运来锯屑。后来，该村建立了自己的锯木厂。锯木厂主很高兴能够节省焚烧锯屑的麻烦，因而把锯屑白送给人。在这种情况下，一个热中于几何方法的人，就从他编制的包括锯屑在内的地方商品价格指数中发现，该地区的平均物价降到了零，并且一直保持不变。正象杰文斯在他的《通货与金融研究》一书中所做的那样，使用对数纸可以很方便地为几何平均指数制图。

    几何平均指数同算术平均指数相比较，似乎有下面的优点：即一旦决定了各种商品的权数，就可以用较方便的任何一年的价格作为我们指数的基数；其结果，和我们以任何其他一年作基数所得的结果一致。但这种一致，事实上是通过无意识地处理有关商品的权数而得到的。②

    ②这一点并没有什么实际重要意义，但却很有意思。几何平均指数表示的是：不管商品价格发生多大变化，如果在每一种商品上花费的货币总额保持不变（也就是，如果对该商品的需求弹性为一，以致价格的每一下降（都使消费量相应增加），实际将会出现怎样的情况。让我们以p和p′代表1850年和1900年商品A的价格，而以q和q′代表另一种商品B的相应价格。以m和n分别代表附加于A和B的权数；这些权数代表花费于这些商品上的金额，并假定是不变的。这样，以1850年为基年的1900年的加权几何指数，即为p′/p的m/m+n次方×q′/qm/m+n次方；以1900年为基年的1850年的加权几何指数即为p′/pm/m+n次方×q′/qm/m+n次方。这两个量彼此相反这一事实表明，不管以何年为基年，在同一时期内采用这种方法都可得到一致的结果。

    就价格的微小变动来说，算术指数和几何指数的结果几乎一样。它们都符合实际情况，因为它们所涉及的价格运动太小，不会大大影响人们的资财在各种物品之间的分配；因此它们权数不变的共同假定不会导致大的差误。但这两种方法对于衡量大的变动却价值不大，而且都易受人们已经提出的那种攻击，即它们几乎完全局限于衡量初级商品的价格，反映不出制造方法的改进引起的货币实际购买力的急剧提高。

    总之，在为编制指数挑选具有代表性的商品时，一般应避免挑选那些价格容易发生大变化的商品。当然，可能有一种公认为重要，能够真正代表全部商品而全部商品都随之变化的东西。但除战时紧急情况和荒年外，这似乎不大可能；因此应当用别的方法来研究非常时期的物价指数。除这些时期外，凡具有很大代表性而被指数采用的物品，其价格都很少发生大的变化。因此，采用这两种方法编制的指数所反映出来的情况，基本上是可靠的；这并不是因为它们的原理在逻辑上是完美无缺的，而是因为人们运用这些原理很得当。①

    ①这里值得用一个极端的例子来说明编得不好的指数所能达到的不可思议的地步。A、B、C是三样物品，每个在基年的标准单位价格是二百十六镑。过了一个时期，风尚把C让位于它的竞争者，因而它的价值几乎下降至零，但另外两种物品的价格大体还保持不变。结果是无论指数加权与否，算术平均数总降到一百五十镑以下，而几何平均数下降得更为惊人。另一方面，假定（保持强大的需求，但却几乎不能买到。这样，就使一切平均数、无论是算术的还是几何的，也无论是加权的还是不加权的，都大幅度上升，特别是不加权的。因此，在把C从指数中排除出去之前，似乎总有可能出现混乱。“调和平均数”受到的责难较少，但其计算方法太复杂烦琐，不适于一般使用。