，强调量子理论描述的统计性质曾经是具有根本重要性的；这种统计性质是由量子公设带来的。在这儿，狄喇克和约尔丹对这一符号化方法所作的推广，代表了一个巨大的进步；这种推广使得那样一些矩阵的运算成为可能，各该矩阵并不按照各个定态来编排，而是可以用任一组变量的可能值来作为各矩阵元的标号。在理论的原始形式中，只和单独一个定态有联系的那些“对角元”，被诠释为该矩阵所代表的那一物理量的时间平均值；与此类似，普遍的矩阵变换理论使我们能够表示一个力学量的那样一些平均值；在这些平均值的计算中，表征体系“态”的任一组变量具有定值，而其正则共轭变量则被允许具有一切可能值。依据这些作者所发展起来的程序，并且紧密地联系到玻恩和泡利的概念，海森伯在上述论文中企图更详细地分析量子理论的物理内容，并且特别注意了交换关系式（3）的表观佯谬性。在这方面，他曾经表述了下列关系式ΔpΔp∽h
(4)来作为同时观察两个正则共轭变量所能达到的最大精确度的一种普遍表示。用这种方法，海森伯已经能够阐明出现于量子公设的应用中的很多佯谬，并且能够在很大程度上演证这种符号化方法的无矛盾性。如上所述，联系到量子理论描述的互补性，我们必须随时对定义的可能性和观察的可能性予以注意。我们即将看到，恰恰是对于这一问题的讨论说来，薛丁谔所发展的波动力学方法曾被证实为很有用处。这一方法允许我们在相互作用问题中也普遍地应用叠加原理，于是就可以和有关辐射及自由粒子的上述考虑发生直接的联系。在以下，我们将回到波动力学同用到矩阵变换理论的量子规律的普遍表述之间的关系。
5．波动力学和量子公设
德布洛意在关于物质粒子波动理论的早期考虑中就已经指出，一个原子的定态，可以具体想像为相波的一种干涉效应；该相波是和一个束缚电子相联系着的。诚然，在定量结果方面，这种观点起初并没有超出早期的量子理论方法之外；对于早期量子理论方法的发展，索末菲是曾经有过如此重要的贡献的。然而，薛丁谔在发展一种波动理论的方法方面得到了成功；这种方法已经打开了新的局面，而且，对于近年以来原子物理学中的巨大进步来说，这种方法已被证实为具有决定的重要性。确实，曾经发现，薛丁谔波动方程的本征振动，可以给原子定态提供一种满足一切要求的表象。每一定态的能量，是按照普遍的量子关系式（1）来和对应的振动周期相联系的。而且，不同本征振动的节面数目，给量子数概念提供了一种简单的诠释；这种量子数概念是根据旧式方法已经为人所知的，但是它起初却似乎并不出现于矩阵表述中。此外，薛丁谔能够将一种电荷及电流的连续分布和波动方程的解联系起来；如果应用于本征振动，这种电荷和电流的连续分布就表现着对应定态中一个原子的静电属性和磁学属性。同样，两个本征解的叠加，就和一种振动的电荷连续分布相对应，按照经典电动力学，这种电荷分布将引起辐射的发射；这样，就很有教益地显示了量子公设的后果以及矩阵力学中所表述的关于两个定态之间的跃迁过程的对应性的要求，在研究原子间及自由带电粒子间的碰撞问题时，玻恩曾经得到了薛丁谔方法的另一应用；这种应用对于进一步的发展来说是重要的。在这方面，玻恩成功地得到了波函数的统计诠释；这种统计诠释使我们能够计算量子公设所要求的那些个体跃迁过程的几率。这种诠释包括着爱伦菲斯特浸渐原理的一种波动力学的陈述；这一原理的富有成果，突出地表现在洪德（Hund）关于分子形成间题的很有成就的研究中。
有鉴于这些结果，薛丁谔曾经表示了这样一种希望：波动理论的发展，终于会消除用量子公设来表示的那种不合理要素，并将沿着经典理论的路线为原子现象的完备描述开辟道路。为了支持这种观点，薛丁谔在一篇最近的论文中强调了这样一件事实：从波动理论的观点看来，量子公设所要求的原子之间的不连续能量交换，将被一种简单的共振现象所代替。特别说来，个体定态的概念或将是一种假相，而该概念的适用性则仅仅是上述共振现象的一种例证。然而，必须记住，我们正是在上述这种共振问题中涉及了一个闭合体系的；按照我们在这儿所提出的观点看来，这种闭合体系是无法观察的。事实上，按照这种观点，波动力学正如矩阵力学一样代表着经典力学运动问题的一种符号化的改写，这种改写和量子理论的要求相适应，从而只能通过明显地应用量子公设来加以诠释。确实，相互作用问题的这两种表述，在一种意义上可以说是互补的，其意义与描述自由个体的波动概念和粒子概念的那种互补意义相同。能量概念在这两种理论中的不同应用之间的对立，正是和这种出发点方面的差别联系着的。
从叠加原理在描述个体粒子行为时的不可缺少性，可以立刻看出相互作用粒子系的时空描述所面对的根本困难。我们已经看到，对于一个自由粒子，关于能量和动量的知识就已经会排除关于粒子时空坐标的精确知识了。这就意味着，联系到体系势能的经典想法来直接应用能量概念，这是被排除了的。在薛丁谔波动方程中，这些困难是这样避免的：通过一个关系式p=√(-1).h/2π.δ/δq
（5）来把哈密顿函数的经典表示式换成一个微分算符，式中的p
代表一个广义动量分量，而q则代表正则共轭变量。在这儿，能量的负值被认为是和时间共轭的。到此为止，在波动方程中，时间和空间，正如能量和动量一样是在一种纯形式化的方式下被应用的。
薛丁谔方法的符号性，并不只是可以从下述情况中看出：正如矩阵理论的简单性一样，薛丁谔方法的简单性也本质地依赖于虚数数学量的应用。而最重要的是，这里不可能有什么和我们的通常观念发生直接联系的问题，因为波动方程所表示的“几何学问题”是和所谓坐标空间相联系的，该空间的维数等于体系的自由度数，从而一般是大于普通空间的维数的。而且，正如矩阵理论所提供的表述一样，相互作用问题的薛丁谔表述也牵涉到对于相对论所要求的力的有限传播速度的一种忽视。
整个说来，在相互作用问题的情况下，看来要求利用通常的时空图景来得到一种形象化是未必有根据的。事实上，我们关于原子内部属性的一切知识，都是根据有关原子的辐射反应或碰撞反应的实验导出的，因此，实验事实的诠释，最后将依赖于自由空间中的辐射和自由物质粒子这两种抽象。因此，我们关于物理现象的整个时空观，正如能量和动量的定义一样，最后也是依赖于这些抽象的。在判断这些辅助概念的应用时，我们只能要求内在无矛盾性；在这种方面，必须对定义的可能性和观察的可能性予以特别注意。
如上所述，在薛丁谔波动方程的本征振动中，我们有原子定态的一种适当表象；这种表象使我们能够利用普遍的量子关系式（1）来得到体系能量的单义定义。然而，这就引起一个后果：在观察结果的诠释中，对于时空描述的根本放弃是不可避免的。事实上，我们即将看到，定态概念的合理应用将排除有关原子中个体粒子行为的任何说明。在必须涉及这种行为的描述的那些问题中，我们必须利用波动方程的通解；这种通解是由本征解的叠加得来的。在这儿，我们遇到定义的各种可能性之间的一种互补性，这和我们早先在联系到光的属性和自由物质粒子的属性时所考虑过的互补性是非常类似的。例如，个体的能量和动量的定义是附属于基本谐波的概念的，命我们看到，现象描述中的每一时空特征，却是以考虑发生于一群这样的基本波之间的干涉现象为基础的。在现有情况下，也可以直接证明观察的可能性和定义的可能性之间的一致性。
按照量子公设，关于原子中电子行为的任何观察，都会带来原子的态的一种改变。正如海森伯所强调的，在原子处于量子数较小的定态中的情况下，这种改变一般将是电子从原子中的射出。因此，在这样一种情况下，是不可能借助于后继的观察来描述原子中电子的“轨道”的。这一点和下述情况有联系：利用只有少数几个节面的那种本征振动，即使要构成近似地代表着一个粒子的“运动”的波包都是不可能的。然而，描述的互补性特别表现于这一事实中：关于原子中粒子行为的观察，其应用是以在观察过程中忽略粒子间的相互作用而将各粒子看成自由粒子的那种可能性为基础的。但是，这就要求过程的持续时间远小于原子的自然周期，而这又意味着，关于过程中所传递能量的知识，其不准量要远大于相邻定态之间的能量差。
整个说来，在判断观察的可能性时必须记得，只有当波动力学的解可以借助于自由粒子的概念来描述时，这些解才是可以形象化的。在这里，经典力学和相互作用问题的量子理论处理之间的区别，表现得最为突出。在经典力学中，上述这种限制是不必要的，因为“粒子”在这里被赋予了一种直截了当的“实在性”，不以该“粒子”是自由的还是束缚的而为转移。联系到薛丁谔电子密度的合理应用，这一形势就是特别重要的；薛丁谔的电子密度，被用来作为电子在原子的确定空间域中出现的几率的量度。回想到上述的限制就可以看到，这种诠释是下述假设的一个简单推论；该假设是：一个自由电子出现的几率，用和波场相联系的电子密度来表示；一个光量子出现的几率，用辐射的能量密度来表示；这两种表示方式是相似的。
正如已经提到的，通过狄喇克和约尔丹的变换理论，已经建立了在量子理论中普遍地无矛盾地应用经典概念的一种手段；借助于这种理论，海森伯曾经表述了他的普遍的测不准关系式（4）。在这种理论中，薛丁谔波动方程也得到了一种很有教益的应用。事实上，这一方程的本征解表现为一些辅助函数，它们定义着从一些矩阵到另一些矩阵的变换，前者的标号表示着体系的能量值，而后者的标号则是空间坐标的可能值。在这方面，提到下列事实也是很有兴趣的：约尔丹和克来恩最近得到了一种用薛丁谔波动方程来表示的相互作用问题的表述；他们以个体粒子的波动表象作为出发点，并应用了一种符号化的方法，这种方法和狄喇克从矩阵理论观点发展起来的关于辐射问题的深入处理密切有关；关于这种处理，我们以后还要谈到。
6．定态的实在性
如上所述，在定态观念中，我们涉及的是量子公设的一种典型应用。根据它的本性，这一观念意味着对时间描述的一种完全的放弃。从我们此处所采取的观点看来，正是这种放弃，就形成原子能量的单义定义的必要条件。而且，严格说来，定态的观念要涉及对体系和不属于体系的那些个体的一切相互作用的排除。这样一个闭合体系是和一个特定能量值相联系着的；可以认为这一事实直接地表示了包含在能量守恒定理中的因果要求。这种情况支持了关于定态的超力学稳定性的假设；按照这一假设，在一次外界影响的以前和以后，原子永远会被发现处于某种明确定义的态中，而这一假设就形成在有关原子结构的问题中应用量子公设的基础。
在判断这一假设给碰撞反应和辐射反应的描述所带来的那些众所周知的佯谬问题时，重要的是要考虑到定义发生反应的各自由个体的可能性方面的限制；这些限制用关系式（2）来表示。事实上，如果反应个体的能量的定义需要精确到使我们能够谈论反应中的能量守恒的地步，那么，按照这一关系式，就必须赋予该反应一段远大于和跃迁过程相联系的振动周期的时间，而且这段时间是按照关系式（1）来和定态之间的能量差相联系的。当考虑高速运动粒子在原子中的穿透过程时，尤其需要记住这一点。按照普通的运动学，这样一种穿透过程的有效时间，将是远小于原子的自然周期的，而且，看来似乎没有可能将能量守恒原理和定态稳定性的假设调和起来。然而，在波动表象中，反应时间是和关于碰撞粒子能量的知识精确性直接联系着的，因此也就绝不会有和守恒定律发生矛盾的可能。联系到关于所提到的这种佯谬问题的讨论，堪贝耳（Campbell）提出了一种观点：时间观念本身，在性质上可能本来就是统计性的。然而，按照我们这儿所提出的观点，时空描述的基础是由自由个体这一抽象来提供的；从这种观点看来，时间和空间之间的一种根本性的区分似乎是要被相对性要求所排除的。正如我们已经看到的，在和定态有关的问题中，时间的特殊地位来自这种问题的特性。
定态概念的应用要有一个条件：在使我们能够区分不同定态的任何观察中，例如在利用碰撞反应或辐射反应所进行的观察中，我们可以忽略原子的以往历史。符号化的量子理论方法，赋予每一定态以一个特定的周相，其值依赖于原子的以往历史；初看起来，这一事实似乎是恰恰和定态概念相矛盾的。然而，一旦我们真正地牵涉到一个时间问题，一个严格闭合体系的考虑就被排除了。因此，简谐本征振动在诠释观察结果方面的应用，只不过意味着一种适当的理想化而已；在更加严格的讨论中，这种理想化永远需要用一群分布于有限频率区间中的谐振动来代替。现在，如上所述，叠加原理的一个普遍推论就是：像给构成波群的每一基本波指定一个周相值那样给整个波群指定一个周相值，那是没有意义的。
根据光学仪器的理论，已经很清楚地了解到周相的不可观察性；这种不可观察性，已经在关于施特恩-盖拉赫实验的讨论中用一种特别简单的方式显示了出来；对于考察单个原子的属性来说，这种实验是十分重要的。正如海森伯所指出的，只有当原子注的偏斜大于德布洛意波在狭缝上的衍射时（这种波表示着原子的移动），在场中有着不同取向的那些原子才能被分离开来。正如简单计算所证明的，这一条件意味着：原子通过场中所需的时间，以及由于原子注的有限宽度而引起的原子在场中的能量的不准量，这二者的乘积最少要等于作用量子。海森伯认为，这一结果支持了关于能量值和时间值的反比不准量的关系式（2）。然而，看来我们这儿所涉及的并不单纯地是某一时刻的原子能量的测量。但是，既然场中原子的本征振动周期是通过关系式（1）来和总能量联系着的，那么我们就领会到，上述可分离性的条件恰恰就意味着周相的消除。这种情况也消除了出现在关于共振辐射相干性的某些问题中的各种表观矛盾；这些矛盾曾被人们多次地讨论过，而且也被海森伯考虑过。
像我们以上所作的那样将一个原子看成一个闭合体系，这就意味着忽略了辐射的自发发射；这种自发的发射，即使当没有外界影响时也会使定态的寿命有一个上限。在很多应用中这种忽略是合理的；这一事实和下述情况有联系：应该按照经典电动力学来预料的原子和辐射场之间的耦合，一般是比原子中各粒子之间的耦合小得多的。事实上，在关于原子态的描述中，在相当程度上忽略辐射的反作用是可能的，这样也就忽略了能量值的不准量，这种不准量按照关系式（2）来和定态的寿命相联系。这就是何以能够应用经典电动力学来对辐射属性作出结论的理由。
在开始时，利用新的量子理论方法来处理辐射问题，恰恰就意味着这种对应考虑的定量表述。这正好就是海森伯那些原始考虑的出发点。我们也可以提到，克来恩最近曾从对应原理的观点出发对于辐射问题的薛丁谔处理作出了一种很有教益的分析。在狄喇克所发展起来的更加严格的理论形式中，辐射场本身也是被包括于所考虑的闭合体系之内的。这样，就能够用一种合理的方式将量子理论所要求的辐射的个体性考虑在内，并能够建立一种将光谱线的有限宽度考虑在内的色散理论了。在时空图景方面有所放弃，是这种处理方式的特征；这种放弃似乎提供了量子理论互补品格的一种突出的指示。当判断在辐射现象中所遇到的那种对于大自然因果描述的激烈违背时，就尤其需要记住这一点；联系到光谱的激发，我们在以上曾经提到过这种违背。
注意到对应原理所要求的原子属性和经典电动力学之间的渐近式的联系，定态观念和原子中个体粒子行为的描述之间的互斥性，可能会被认为是一个困难。事实上，所涉及的联系就意味着，在量子数很大的极限情况下，相邻定态之间的相对差将渐近地变为零，这时，电子运动的力学图景是可以合理地应用的，然而，必须强调，对于大的量子数来说，量子公设将失去其重要性，在这种意义上，上述联系是并不能看成向经典理论的逐渐过渡的。恰好相反，借助于经典图景而由对应原理得出的结论，恰恰依赖于这样一种假设：即使在这种极限情况，定态的概念和个体跃迁过程的概念还是要保留下来的。
这一问题，给新方法的应用提供了一个特别有教育意义的范例，正如薛丁谔所证明的，在上述的极限情况，可以通过本征振动的叠加来建立一些远小于原子“大小”的波群；如果量子数选得足够大，这种波群的传播就和运动物质粒子的经典图景无限地接近。在简谐振子这一特例中，薛丁谔已经能够证明，这样的波群甚至在任意长的时间内都不会分散，并且会以一种和运动的经典图景相对应的方式而往返振动。薛丁谔曾经认为，这种情况是对他的希望的一种支持；他希望不涉及量子公设而建立一种纯粹的波动理论。然而，正如海森伯所强调的，振子事例的简单性是一种例外，而且是和对应的经典运动的谐和性密切联系着的。而且，在这一例子中，也没有渐近地趋向于自由粒子问题的任何可能。在一般情况，波群将逐渐扩展到原子的整个区域中，而且只能在几个周期之内追随一个束缚电子的“运动”，这个周期数具有和各本征振动相联系的那些量子数的数量级。在达尔文（Darwin）的一篇最近的论文中，曾经比较详细地研究了这一问题；这篇论文包含着有关波群行为的若干有教益的例子。从矩阵理论的观点出发，肯纳德（Kennard）曾对类似的问题进行了处理。
在这儿，我们又遇到波动理论叠加原理和粒子个体性假设之间的对立；关于这种对立，我们在自由粒子的情况下已经考虑过了。同时，和经典理论的渐近式的联系，提供了特别简单地阐明关于合理应用定态概念的上述考虑的可能；对于经典理论说来，是无所谓自由粒子和束缚粒子的区别的。正如我们已经看到的，利用碰撞反应或辐射反应来鉴定一个定态，就蕴涵着时间描述中的一个缺口；这个缺口的数量级起码等于和定态间的跃迁相联系的那些周期的数量级。现在，在大量子数的极限情况，这些周期可以理解为运转周期。于是，我们立刻就看到，在导致定态之确定的观察和有关原子中个别粒子之行为的较早观察之间，是不可能得出任何因果联系的。
总之可以说，定态的概念和个体跃迁过程的概念，在自己的确切适用范围之内是和个体粒子这一概念本身具有同样多少的“实在性”的。在这两种情况下，我们都牵涉到一种和时空描述互补的因果要求；这种因果要求的适当应用，只受到定义及观察的有限可能性的限制。
7．基本粒子问题
事实上，当适当地注意到量子公设所要求的互补特色时，就似乎可能借助于符号化的方法来建立起一种无矛盾的关于原子现象的理论；这种理论可以认为是经典物理学因果时空描述的合理推广。然而，这种观点并不意味着经典电子理论可以简单地看成作用量子趋于零时的极限理论。确实，后一种理论和经验之间的联系，是以一些假设为基础的；这些假设几乎不能从量子理论的问题群中分离出来。在这方面的一个暗示，已经由一些众所周知的困难提供了出来；当企图根据普遍的力学原理和电动力学原理来说明终极带电粒子的个体性时，就会遇到这种困难。在这方面，万有引力的广义相对论也并不曾满足人们的期望。所涉及的问题，似乎只有通过广义场论的一种合理的量子理论改写才能得到令人满意的解决；在这种改写中，作为表征着量子理论的那种个体性特色的一种表示，电的终极量子（即电子电荷——译者）应该已经找到它的自然地位。近来，克来恩曾经注意到将这一问题和卡鲁查（Kaluza）所提出的电磁现象和引力现象的五维统一表象联系起来的可能性。事实上，电荷的守恒是作为能量守恒定理及动量守恒定理的一种类比而出现于这一理论中的。正如克来恩所强调的，就像能量概念及动量概念是和时空描述互补的一样，普通的四维描述乃至这种描述在量子理论中的符号化的应用，其适用性似乎都本质地依赖于下述情况：在这种描述中，电荷永远是在明确定义的单位下出现的，结果，共轭的第五维就是不可观察的。
完全撇开这些悬而未决的深入问题不谈，经典电子理论迄今为止一直是对应描述的进一步发展的指导；这种发展和首先由康普顿提出的下述想法有联系：除了它们的质量和电荷以外，终极带电粒子还由于有一个角动量而具有一个磁矩，该角动量决定于作用量子。高德斯密（Goudsmit）和乌冷贝克（Uh1enbeck）曾经特别成功地将这一假设引入关于反常塞曼效应之起源的讨论中；人们发现，正如海森伯和约尔丹所曾特别指明的，联系到新方法，这一假设是最为富有成果的。确实，人们可以说，磁性电子假说和海森伯所阐述的共振问题，已经使得光谱定律及周期系的对应诠释达到了一定程度的完备性；上述共振问题出现于多电子原子行为的量子理论描述中。作为这一处理方式的基础的那些原理，甚至已经使我们能够得出有关原子核属性的一些结论。例如，联系到海森伯和洪德的一些想法，邓尼孙（Dennison）最近曾用一种很有趣的方式成功他说明了一个问题：一直被困难包围着的氢比热的解释，可以如何和一个假设谐调起来；该假设就是，质子具有一个和电子动量矩同样大小的动量矩。然而，由于质子的质量较大，所以必须给质子联系上一个远小于电子磁矩的磁矩。
迄今所发展的关于基本粒子问题的那些方法，它们在上述各问题中的不足性可以根据下述事实看出：关于电的基本粒子和通过光量子概念来代表的那种“个体”，泡利所陈述的所谓不相容原理表示了二者行为上的差别，而所发展的方法并不能对这种差别提出一种无歧义的解释。事实上，在这一对于原子结构问题以及对于统计理论的近日发展如此重要的原理中，我们遇到许多种可能中的一种，其中每一种可能都是满足对应性的要求的。此外，联系到磁性电子问题，在量子理论中满足相对性要求的困难也表现得特别突出。确实，联系到对于诠释实验结果如此重要的托马斯（Thomas）的相对论运动学的考虑，要使达尔文和泡利在推广新方法方面所作的很有希望的尝试能够很自然地概括这一问题，这似乎是不可能的。但是，就在最近，通过符号化方法的一种新的巧妙推广，并且不放弃和光谱资料的一致而满足着相对性要求，狄喇克已经能够成功地处理磁性电子问题。在这种处理中，不但涉及了出现于较早方法中的复数量，而且，他的基本方程本身还包含一些复杂性更大的用矩阵来表示的量。
相对性论证的表述，已经本质地蕴涵着时空标示和因果要求的结合了；这种结合是经典理论的特征。因此，当使相对性要求和量子公设相适应时，我们必须准备对通常意义下的形象化有所放弃；这种放弃将比这儿所考虑的量子规律之表述中的放弃更进一步。确实，在这儿，我们发现自己正和爱因斯坦走着相同的道路：要使我们从感觉借来的知觉方式，适应于逐渐深入着的关于自然规律的知识。在这一道路上所遇到的障碍，主要起源于这样一件事实：不妨说，语言中的每一个词，都要涉及我们通常的知觉。在量子理论中，在表征着量子公设的那种不合理性特色的不可避免性这一问题中，我们马上就遇到这一困难。然而，我希望，互补性这一概念是适于表征目前形势的；这种形势和人类概念形成中的一般困难深为相似，这种困难是主观和客观的区分中所固有的。