这种分类中，对于每一个态，都指定了一套整数，即所谓“量子数”（“quantum
indices”）。这些整数的数目，等于力学运动的周期性的阶数。
在表述量子化法则时，处理力学问题的数学方法的近代发展是具有决定重要性的。我们只要提到索末菲（Sommerfeld）所特别利用了的相角积分理论，以及爱伦菲斯特（Ehrenfest）所强调了的这些积分的浸渐不变性也就够了。由于施台克耳（Stackel）引入了匀化变量（uniformizing
variables），理论得到了一种非常优美的形式。在这种形式中，确定着力学解的各种周期属性的那些基频，表现为能量对需要量子化的那些作用量分量的偏导数。由频率条件算出的运动和光谱之间的渐近联系，就这样得到了保持。
借助于量子化法则，光谱的很多较精致的细节似乎可以很自然地得到说明。特别使人感到兴趣的是索末菲的这样一种演证：相对论要求我们对牛顿力学加以修改，结果就得到对于开普勒运动的一些微小偏差，这种偏差就给氢光谱线的精细结构提供了一种解释。此外，我们愿意在这儿提到艾普斯坦（Epstein）和施瓦兹柴耳德（Schwarzschild）对于外电场中氢光谱线的劈裂现象所提出的解释；这种现象是斯塔克（Stark）发现的。我们在这儿涉及的是这样一个力学问题，它的处理在欧勒和拉格朗日一流的数学家手中得到了很大的改进，直到雅可俾（Jacobi）叙述了他那有名的利用哈密顿偏微分方程求解的优美方法时为止。特别是当利用了对应原理之后（这一原理不但可以用来解释斯塔克效应中各成分谱线的偏振，而且，正如克喇摩斯（Kramers）所证明的，还可以用来解释这些成分谱线强度的独特分布），我们就可以说，在这一效应中，雅可俾解的每一特色都是可以看到的，尽管它们隐藏在一种量子理论的面具下面。在这一方面，指出下列事实是很有兴趣的：借助于对应原理，磁场对氢原子的效应可以如此地加以处理，以便在这种处理和洛仑兹根据经典电动力学对塞曼效应所作的说明之间，尤其是和拉摩（Larmor）所提出的那种形式的说明之间，显示出一种影响深远的相似性。
4. 元素之间的关系
上述的一些问题代表着量子化法则的直接应用，但是，在多电子原子结构的问题中，我们却遇到这样一种情况：力学问题的通解，并不具备似乎是定态的力学图景所必需的那种周期性。然而，我们可以设想，在研究多电子原子属性时所遇到的这种应用力学图景的进一步限制，是和定态稳定性的公设直接联系着的；这种限制不属于研究单电子原子时所遇到的限制之列。事实上，原子中那些电子的相互作用提出了一个问题，这是和一个原子及一个自由电子之间的碰撞问题颇为类似的。正如不能对一个原子在碰撞中的稳定性提出任何力学解释一样，我们也必须假设，在原子定态的描述中，每一电子在和其他电子的相互作用中所起的特定作用，已经是用一种完全非力学的方式来得到保证的了。
这种观点是和光谱学的证据普遍相容的。这种证据的一个重要特点就是黎德伯的发现：尽管其他元素的光谱结构比氢光谱结构更加复杂，巴耳末公式中所包含的同一恒量却出现于一切元素的线系光谱经验公式中。这一发现可以简单地加以解释，只要认为线系光谱表现了将一个电子加入原子中而使它的键合随着辐射的发射一步一步变为紧固的一些过程就可以了。当其他电子的键合性质保持不变时，这一个电子的键合的跨步式的加强，可以通过一些轨道来得到形象化；这些轨道起先比通常的原子要大，后来则越变越小，直到达到了原子的正常态为止。在一种情况，当原子在俘获电子以前只具有单独一个正电荷时，按照上述键合过程的图景，原子的其他部分对这个电子的引力，在起初将是和氢原子中二线谱又和线系光谱有着某些特征性的区别。这些区别起源于这种情况：在X射线谱中，我们看到的不是一个附加电子在原子中的键合，而是当取走一个早先被键合着的电子时其余各电子的键合的重新改组。考塞耳（Kossel）所曾特别强调的这一情况，是相当适用于揭示原子结构稳定性的新式而重要的特点的。
当然，为了说明光谱的一些细节，更详细地研究原子中各电子的相互作用是必要的。忽略了力学的严格应用，曾经通过为每一电子指定一种具有适当周期属性的运动来处理了这一问题，这种周期属性使我们能够利用量子数来完成光谱项的分类。特别说来，在索末菲的手中，一些光谱规律曾用这种办法得到了简单的解释。而且，这些考虑也给对应原理提供了一个丰富的适用领域。事实上，这一原理可以解释合并光谱项的可能性方面的独特限制，亦即解释所谓光谱线的选择法则。
就这样，利用由线系光谱得到的以及由调射线谱得到的证据，最近以来已经能够得出关于原子正常态中的电子分组的结论。这种分组解释了元素周期系的一般特征，和J．J．汤姆孙、考塞耳以及路易斯（G.N.Lewis）所特别发展起来的原子化学活性的概念相容。这一领域中的进步，曾经是和过去几年中光谱学资料的巨大丰富化密切有关的，而且，主要的是，通过赖曼（Lyman）和密立根（Milikan）的研究，光学谱域和X
射线谱域之间的空隙几乎已经填补起来了；在X
射线谱域中，塞班（Siegbahn）及其同事们在近年以来曾经得到巨大的进展。在这方面，可以提到考斯特（Coster）在重元素X
射线谱方面的工作；这种工作对说明周期系的基本特征提供了美好的支持。
5．力学图景的不足
然而，光谱的较精致细节的分析曾经揭示了若干特点，它们是不能依据周期性运动体系的理论来用力学图景加以诠释的。我们这儿特别指的是谱线的多重结构以及磁场对这种结构所发生的效应。后一种现象通常称为反常塞曼效应，而且，如上所述，这种现象在经典理论中已经会引起一些困难了；确实，这种现象是可以很自然地纳入量子理论基本公设的方案中的。因为，正如朗德（Lande）所证明的，每一谱线在场中劈裂而成的那些成分谱线的频率，也和原有谱线的频率一样可以用一些谱项的并合来表示。这些磁性谱项的集合，可以通过将每一原有谱项换成另一套谱项值来求得；这些值和原谱项之间有着依赖于场强的微小差。事实上，施特恩（Stern）和盖拉赫（Gerlac）的那些优美的实验，可以认为是量子理论基本思想的一种最直接的支持；通过这些实验，在作用于非均匀磁场中一个原子上的力和由磁性谱项算出的场中定态能量值之间建立了一种直接的联系。
然而，朗德的分析，却揭示了原子中电子的相互作用和力学体系的耦合之间的奇异区别。事实上，我们不得不假设，在电子的相互作用中出现着一种在力学上无法描述的“胁变”；这种“胁变”使人无法依据力学图景来唯一地指定各个量子数。在这一问题的讨论中，爱伦菲斯特所引入的一个热力学稳定性的普遍条件起了重要的作用。当应用于量子理论的公设时这一条件就表明，人们给一个定态所指定的统计权数是一个量，它不能由于原子体系的连续转变而有所变化。此外，近来已经认识到，甚至对于只有一个电子的原子来说，这同一个条件也会引起困难；这些困难指示着周期性运动体系理论的正确性的界限。事实上，点电荷的运动问题可以有一些奇解；这些奇解必须从定态集合中排除掉。这种排除很牵强地限制了量子化法则，但这种限制起初并不曾明显地和实验证据发生矛盾。然而，通过克来恩和楞茨（Lenz）关于交叉电磁场中的氢原子问题的有趣分析，揭示了一些性质特别严重的困难。在这儿，人们发现无法满足爱伦菲斯特条件，因为外力的适当变化将逐渐把描绘着一些定态的轨道转变成使电子落人原子核中的轨道，而那些被描述的定态并不永远是能够从定态集合中排除掉的。
且不说这些困难，光谱的较精致细节的研究曾经相当大地推进了关于元素间关系的那些规律的量子理论诠释。事实上，量子理论导致了关于电子分组的想法，这些想法的一种推广，最近曾由道维里（Dauvillier）、梅因斯密（Main
Smith）和斯通纳（Stoner）提出；他们考虑了各种的证据。尽管这些建议具有形式化的性质，它们却和朗德的分析所揭示的光谱规律性显示了密切的联系。最近在这方面曾经得到了重要的进步，特别是泡利（Pauli）所得到的进步。尽管这样得到的一些结果构成了上述纲领的一个重要步骤，该纲领是要仅仅依据原子序数来说明元素的属性，但是，必须记得，这些结果并不能和一些力学图景单值地结合起来。
在最近几年中，通过更详细地研究光学现象，已经开始了量子理论发展中的一个新时代。如上所述，经典理论在这一领域中得到了如此巨大的成功，但是，各公设在起初却并未提供任何直接线索。诚然，根据实验可以得出结论：一个原子，当受到照射时就会引起光的散射，这种散射和经典上算出的弹性键合带电粒子所引起的散射基本上相同，各该粒子的自然频率等于和原子在外来辐射影响下所能完成的跃迁过程相对应的那些频率。事实上，按照经典理论，当这样一些谐振子受到激发时，它们就会发出一种辐射，其组成和被转移到较高定态中的原子的辐射组成相同。
利用这种和跃迁共轭的振子概念来得到光学现象的统一描述的可能性，主要是由斯累特（Slater）的一种想法得来的；按照这种想法，辐射从一个激活原子的发出，可以看成自发跃迁的“原因”，和入射辐射在引起跃迁方面的效应相类似。拉登堡（Ladenburg）提出，在振子的散射本领和爱因斯坦理论中的对应跃迁几率之间，可能有一种确定的联系，这样，他就向着色散的定量描述迈出了重要的第一步。然而，决定性的进步是由克喇摩斯作出的，他把一些效应巧妙地改写成了和对应原理相谐调的形式，按照经典理论，这些效应是在一个电动力学体系中由光波的照射所引起的。正如辐射频率一方面用经典理论来计算而另一方面又用量子理论来计算一样，作为这种改写的特点的，是把一些微商适当地用一些差式来代替，以便在最后的公式中只出现可以直接观察的量。于是，在克喇摩斯理论中，一个原子在某一定态中的散射，是既同那些和到达其他定态的不同跃迁过程相对应的频率有着定量联系，又同这些跃迁在照射的影响下出现的几率有着定量联系的。
理论的一个重要特点是，在推算一条光谱线附近的反常色散时，人们必须考虑两种相反的共振效应，随这一谱线是和原子到达较高能态的还是和原子到达较低能态的一个跃迁相对应而定。只有前者才和以前根据经典理论来说明色散现象时所用到的共振效应相对应。也非常有兴趣的是，克喇摩斯和海森伯对理论的进一步发展，也给具有既变频率的附加散射效应提供了一种自然的定量描述；这种效应的存在，曾由史麦卡（Smeka1）根据建筑在光量子理论基础上的考虑预见到，于是光量子理论就再一次显示了它的丰富性。
尽管光学现象的这种描述是和量子理论的基本概念完全谐调的，但是很快地就发现，这种描述和以前用来分析定态的那种力学图景是奇特地矛盾着的。首先，不可能依据色散理论所要求的被照原子的散射本领，来把一个原子在频率越来越小的交变场中的反应和根据周期运动体系理论中的量子化法则算出的原子在恒定场中的反应渐近地联系起来。这种困难加强了对这一理论的怀疑；以上说过，交叉电磁场中的氢原子问题，就曾经引起过这种怀疑了。其次，必须认为特别不能令人满意的是，在依据定态的力学图景来定量地确定跃迁几率的问题中，周期运动体系的理论显然是无能为力的。这一点越来越被人觉察到了，因为，在许多情况下，利用分析电磁模型的光学行为而推得的观点，对于有关这些跃迁几率的对应原理的一般说法就可以得到一种定量的表述。这些结果和光谱线相对强度的量度符合得非常好；这些结果最近几年曾在乌得勒支（Utrecht）得到特别的发展，但是，它们只能非常牵强地被概括在受到量子化法则支配的那些方案中。
6．一种合理的量子力学的发展
最近，曾经特别强调过这些困难的海森伯，通过用一种新奇方式表述这些量子理论问题而采取了或许是有着根本重要性的一个步骤；利用这种表述方式，希望能够避免和力学图景的应用有关的那些困难。在这一理论中，曾经企图将力学图景的每一应用都用可以和量子理论的性质相适应的方式加以改写，并且要改写得在计算的每一阶段中都仅仅引人可以直接观察的量。和通常的力学相反，新的量子力学并不处理原子级粒子的运动的时空描述。它用一些量的集合来进行运算，这些量代替了运动的谐振动分量，并且适应着对应原理而代表着定态间的跃迁几率。这些量满足某些关系式，这些关系式代替了力学运动方程和量子化法则。
这种手续确实导致一种和经典力学足够类似的自足的理论，这种情况主要地依赖于一件事实：正如玻恩（Born）和约尔丹（Jordan）已经能够证明的，在海森伯的量子力学中，有一个和经典力学的能量定律相类似的守恒定律。理论是这样建立起来的：它和量子理论的公设能够自动地谐调。特别说来，由量子力学运动方程导出的能量值和频率值，是满足频率条件的。虽然在代替了量子化法则的那些基本关系式中包含着普朗克恒量，但是量子数却并不明显地出现于这些关系式中。定态的分类完全以跃迁可能性的考虑为依据，这种考虑使得这些态的集合可以一步步地被建立起来。简单他说，量子力学的整个工具，可以认为是包含在对应原理中的那些倾向的一种精确表述。这儿必须提到，这种理论是满足克喇摩斯色散理论的那些要求的。
由于所涉及的数学问题非常困难，现在还不能将海森伯理论应用于原子结构问题。然而，根据上面的简单描述可以理解，有一些结果将仍然是正确的；这些结果过去是在对应原理的协助下依据力学图景来得出的，例如黎德伯恒量的表示式就是如此。此外，最有兴趣的是，在迄今为止已经依据海森伯理论进行了处理的那些最简单的事例中，新理论已经导致了跃迁几率的一种定量计算，并导致了一些定态能值；这些能值和由旧理论的量子化法则得出的能值有着系统化的差别。因此，人们可以希望，海森伯理论将有助于和上述那些在研究光谱的较精致细节时所遇到的费解的困难进行斗争。
在本论文的前一部分，曾经提到在建立原子之间的相互作用图景时所涉及的根本困难；不论这种相互作用是通过辐射还是通过碰撞来实现，困难都是存在的。这些困难，似乎恰恰要求我们放弃空间和时间中的力学模型，这种放弃是新量子力学中如此典型的一个特色。然而，这种新量子力学的表述仍然没有照顾到在那些相互作用中显示出来的跃迁过程的配对耦合。事实上，只有依赖于定态的存在和定态间跃迁可能性的那些量才会出现于新理论中，这种理论肯定地避免了发生跃迁的时间问题。然而，这一限制只能揭示量子理论和经典理论之间的类比的若干方面，而这一限制又是依据量子理论公设来处理原子结构问题时的一种典型的限制。上述类比的这些方面主要属于原子的辐射性质之列，而海森伯理论恰恰就在这种地方代表着一种真正的进展。特别说来，在散射现象中，这一理论使我们能够认识到用一种和经典理论完全类似的方式键合在原子中的电子的存在；如上所述，在J．J．汤姆孙手中，这些经典理论已能使我们能够根据测量调射线的散射来计算出一个原子中的电子数了。但是，原子相互作用中守恒定律的正确性所引起的那些问题，却涉及量子理论和经典理论的对应性的一些完全不同的方面。这些方面在量子理论的普遍表述中是同样不可缺少的，而且，当更加详细地研究原子对高速运动粒子的反应时，避免讨论这些方面是不可能的。事实上，正是在这儿，经典理论曾经对我们的原子结构知识作出了如此根本性的贡献。
将使数学界感到兴趣的是，高等代数学所创立的数学工具，在新量子力学的合理表述中起着不可缺少的作用。例如，玻恩和约尔丹所得出的海森伯理论中守恒定律的普遍证明，是以矩阵论的应用为其基础的；矩阵论，这是溯源于凯雷（Cayley）并由厄米（Hermite）所特别发展了的理论。应该希望，一个力学和数学互相促进的新阶段已经到来。对于物理学家们来说，起初似乎很悲惨的是我们在原子问题中已经明显地遇到我们习见的形象化手段的一种很大的局限。然而，这种抱怨将不得不让位于一种感激：在这一领域中，数学也给我们提供着为更大的进步准备道路的工具。