的本性和本质上的变化，而只是意义的变化。一门数学哲学必须证明：这种变化并不会导致模棱两可或自相矛盾的结论，必须证明：那种不能由整数或整数之间的比例来确切地表达的量，由于引入了新的符号而成为完全可理解的和可表达的了。

    承认一切几何学问题都能作这种变换——这是近代哲学最初的伟大发现之一。笛卡儿的解析几何对广延与数之间的这种关系提出了第一个令人信服的证明。从此以后几何学的语言不再是一种特殊的方言了，它成了一种远为普泛的语言——普遍的数学——的一部分。但是在笛卡儿那里，还不可能以同样的方式去制服物理世界——物质与运动的世界。他想要发展数学物理学的企图失败了。我们物理世界的材料是由感觉与料sense

    data组成的，而这些感觉与料所描述的那些执拗不驯的事实似乎抗拒着笛卡儿的一切逻辑和理性思维的努力。他的物理学仍然是由一些任意的假定组成的网状系统。但是，如果说笛卡儿作为一个物理学家可能在他的手段上犯错误的话，那么他在他的基本哲学目标上却是正确的。从这以后，这个目标就被清晰地理解并且牢固地确立起来了：物理学的各分支都趋向于同一个目标——力图使整个自然现象的世界都处于数的管辖之下。

    在这种总的方法论理想方面，我们看不出古典物理学与近代物理学之间有什么分歧。量子力学在某种意义上是古典的毕达哥拉斯理想的真正复活、更新和证实。但是在这里也必须引入一种更加抽象的符号语言。当德谟克利特描述他的原子结构时，他曾求助于从感觉经验世界中获取的相似性。他给出了原子的一种图象、映象，而这种映象是与我们宏观世界的普通物体相类似的。原子以它们的形状、大小及其各部分的排列而互相区别。它们的联结是用物质的连接来解释的：单独的原子都具有钩和孔、球和窝，从而使它们成为可勾结的。所有这些形象化的描述和比喻式的说明在我们近代原子理论中都已经消失了。在玻尔的原子模型中没有任何这类形象化的语言。科学不再以普通的感觉经验的语言说话，而是采取了毕达哥拉斯的语言。数的纯粹符号体系取代并且取消了日常言语的符号体系。不仅是宏观宇宙而且连微观宇宙——原子内部现象的世界——现在都不可能用这种语言来描述。这已被证明是开启了一种全新的系统解释。索末菲Arnoldsommer－eld在其著作《原子结构与光谱线》的序中写道：

    “在发现光谱分析之后，没有一个受过物理学训练的人会怀疑，只要物理学家们学会了理解光谱的语言，原子的问题也就能解决了。在光谱学研究的六十多年中积累起来的大量材料是如此杂乱，以致最初看来几乎没法理清了。……现在我们所听到的光谱的语言是原子内部的一种真正的‘天堂的音乐’，是整体联系的和弦，是一种尽管有着多种多样的变化但却变得越来越完满的秩序与和谐。……光谱线和原子理论的全部积分规律最初都来源于量子论。大自然正是以这种神秘的推演法演奏着她的光谱乐曲，也正是根据它的韵律调整着原子和原子核的结构。”

    化学的历史是科学语言的这种缓慢变化的最好最显著的例子。化学踏上“科学大道”的时间比物理学晚得多。许多世纪以来阻碍化学思想的发展并使它停留在前科学概念范围内的障碍决不是因为缺乏新的经验证据。如果我们研究一下炼金术的历史，我们就会发现炼金术士们具有令人惊讶的观察天赋。他们积累了大量有价值的事实，没有这些原始材料的话，化学几乎至今也不可能得到发展。但是表现这种原材料的形式却是极不充分的。当炼金术士开始描述他的观察材料时，他没有任何可供他使用的工具而只有一种充满了意义含糊的术语的半神话语言。他用隐喻和寓言而不是用科学的概念说话。这种含糊的语言在他关于自然的全部概念上都打上了烙印。自然界成了由各种晦涩难懂的性质构成的领域，只有那些领受其秘诀的行家才能理解它。化学思想的新潮流开始于文艺复兴时期。在“医化学”学派中，生物学和医学的思想开始流行。但解决化学问题的真正科学方法直到十七世纪才出现。罗伯特·波义耳的《怀疑的化学家》是以关于自然和自然规律的新的一般概念为基础的近代化学理想的第一个伟大范例。然而即使在这里以及以后的燃素说的发展中，我们能看到的也只是对化学过程的定性描述。直到十九世纪末拉瓦锡的时代，化学才学会了使用定量的语言。当道尔顿发现等价或倍比定律时，一条新的道路对化学打开了。数的权力牢固地树立起来了。然而，仍然有大量的化学经验还没有完全服从数的定律。化学元素表在那时只是纯粹经验的列表，它并不依赖于任何确定的原则，也没有显示出明确的系统秩序。但即使这个最后的障碍也被元素周期律的发现而扫除了。每一个元素都在一个首尾一贯的体系中找到了它的位置，而这个位置是由它的原子数目规定的。“真正的原子的数目是这样的数目：在规定每一元素的次序从而把各种化学的亲属关系列成适当的表时，这种数目给定元素在自然体系中的位置。”根据周期律，就有可能预言未知的元素并且依次地发现它们。这样，化学就获得了一种数学的和演绎的结构。

    在生物学的历史中我们也能追踪到同样的一般思想趋向。象所有其它的自然科学一样，生物学也不得不从对事实的简单分类开始，而且这种分类也是以我们日常语言的类概念为指导的。科学的生物学给了这些概念更确切的意义。亚里士多德的动物学分类和提奥弗拉斯特的植物学分类都显示出高度的严密性和方法上的条理性。但是在近代生物学中，所有这些较早的分类形式都被一个不同的理想遮盖了。生物学慢慢地进展到了一个“演绎公式化理论”的新阶段。诺士洛F.S.C.Northrop教授说：

    “任何科学在其正常的发展中都通过两个阶段——

    第一个阶段我们称之为自然史的阶段，第二个阶段则称为在假说上已经成立的理论postulationally

    prescribed　theory的阶段。这两个阶段各自拥有一类明确的科学概念。自然史阶段的概念我们称之为由考查得到的概念；而假说成立阶段的概念则称之为由假说得来的概念。一个由考查得来的概念是一种其全部意义都是由某种直接认识到的东西所给予的概念。而一个由假说而来的概念则是这样一种概念：其意义是由包含它的那个演绎理论的诸假说所规定的。”

    为了实现从单纯可认识的阶段走向可理解的阶段这一决定性的步骤，我们总是需要一种新的思维工具。我们必须把我们的观察资料归属到一个秩序井然的符号系统中去，以便使它们相互间系统连贯起来并能用科学的概念来解释。

    数学是一种普遍的符号语言——它与对事物的描述无关而只涉及对关系的一般表达——这种看法在哲学史上是很晚才出现的。而以这种预设为基础的数学理论直到十七世纪才出现。莱布尼茨在这方面是近代第一位伟大的思想家，他明确认识到数学符号系统的真正特性并且直接得出富于成效而意义广泛的结论。在这一点上，数学的历史与所有其它符号形式的历史没有什么不同。即使对数学来说，要发现新的符号思维之维也被证明是极其困难的。这样的思维，早在数学家们能够说明它的特殊逻辑品性以前，就已经在被数学家们使用了。象语言和艺术的符号一样，数学的符号从一开始就被某种巫术的气氛所环绕。人们带着宗教的畏惧和崇拜来看待它们。以后，这种宗教的神秘信仰慢慢地发展为一种形而上学的信仰。在柏拉图的哲学中，数不再笼罩在神秘之中。相反地，它被看成是理智世界的真正中心，它已经成了找到一切真理和可理解性的线索。当柏拉图晚年提出他的理想世界的理论时，他试图用纯粹的数字来描述它。数学对他来说是可感世界与超感世界之间的中间领域。他也是一个真正的毕达哥拉斯信徒，并且他也象毕达哥拉斯学派一样深信，数的力量遍及全部可见世界。但是数的形而上学本质不可能靠任何可见现象来揭示。现象分有着这种本质，但它们不可能充分地表现它——它们必然不能完全符合这种本质。把我们在自然现象、天体运动中所发现的那些可见的数看成是真正的数学的数，那是一种误解。这里的数仅仅是纯粹理想的数的“暗示”。这些理想的数应当靠理性和理智来把握，而不是靠观察来认识。

    “灿烂的天空应被看作是一种图案，其目的则在于展现更高级的知识。天空的美就象提特勒或其他大艺术家所精心绘制的图案画或肖像画的美一样，是我们可以有机会看到的。任何看见这些图案的几何学家都会赞赏它们的精湛，但是谁也不会认为，他在这些图中能发现真正的相等、真正的倍数或其他任何比例的真理。……一个真正的天文学家在观看星辰的运行时不也有着同样的感受吗？他不也认为，天空以及天上的一切都是造物主以最完美的方式塑造出来的吗？但是他绝不会设想，昼与夜的比例、昼夜与月的比例、月与年的比例、它们与星辰的比例或星辰与星辰彼此间的比例以及所有其它有形的和可见的事物也都是永恒不变的。这样的设想是荒谬的，同样，花费那么大的气力去研究它们的精确真理也是荒谬的。”

    现代认识论不再主张这种柏拉图式的数论了。它不再把数学看成是对可见的和不可见的物的研究，而是看作对关系和关系的类型的研究。当我们说到数的客观性时，我们并不把它看成是一种独立的形而上学的或物理的实体，而是认为：数是发现自然与实在的一种工具。科学史给我们提供了这种持续的智力进程的典型例子。数学思想似乎常常走在自然科学研究的前面。我们最重要的数学理论并不是由于直接的实际需要或技术需要而产生的。它们被看成是先于任何具体应用而存在的普遍的思想框架。当爱因斯坦提出他的广义相对论时，他用的是已创立的黎曼几何，不过黎曼当时仅仅把它看作纯粹的逻辑可能性。但黎曼深信，我们需要这样的可能性，它可以为描述现实的事实作准备。我们需要的是能充分自由地构造各种形式的数学符号体系，以便能给自然科学思维提供一切智力工具。自然是无穷无尽的——它总是会向我们提出新的意想不到的问题。我们不可能预见事实，但我们可以借助符号思维的力量为能理智地解释这些事实作准备。

    如果我们接受了这个观点，那我们就能回答近代自然科学最困难最有争议的问题之一——决定论的问题。科学所需要的不是一种形而上学的决定论而是一种方法论的决定论。我们可以拒绝接受在拉普拉斯著名公式中表现出来的那种机械决定论，但是真正科学的决定论——数的决定论，一般是不易遭到拒绝的。我们不再把数看成是一种神秘的力量或看作事物的形而上学本质，而是把它看成一种特殊的获取知识的工具。显然，现代物理学的任何成果都不会给这种看法带来疑问。量子力学的进展已经告诉我们，我们的数学语言要比经典物理学体系中的数学语言丰富得多、灵活得多，回旋的余地大得多。它对于新的问题和新的要求具有很强的适应性。海森堡提出他的理论时使用了一种新的代数符号体系形式，在这个符号体系中我们一些普通的代数规则是无效的。但是数的一般形式在所有这些后来的体系中都保留着。高斯曾经说过，数学是科学的女王而算术是数学的女王。克莱恩在对十九世纪数学思想发展的历史评述中指出，这个发展的最典型特征之一就是数学的逐渐“算术化”。而且在近代物理学的历史中我们也能注意到这种算术化的进程。从哈密顿的四元数到量子力学的不同系统，我们看到越来越复杂的代数符号体系的系统。科学家根据这样的原则行事：即使在最复杂的情况下，他最后也必须成功地发现一种适当的符号体系，使他能够用一种普遍的大家都能理解的语言来描述他观察到的现象。

    确实，科学家并没有向我们提供关于这种基本假定的逻辑证明或经验证明。他给我们的唯一证明就是他的工作。他采纳了数的决定论的原则作为一种指导原则，一种调节观念，使他的工作具有逻辑的严密性和体系的统一性。我在赫尔姆霍兹的《生理光学论》中看到了对科学过程的这种一般品性的最好陈述之一。赫尔姆霍兹说，如果我们的科学知识的原理例如因果律，只不过是经验的规则，那它们的归纳证明就是非常糟糕的，我们所能说的最多就只能是，这些原理并不比诸如风的循环规律之类的气象学规则更有根据。但是，这些原理显而易见地具有纯粹逻辑规律的品性，因为从这些原理推导出来的结论并不与我们的现实经验和单纯的自然事实相关，而是与我们对自然的解释相关：

    “我们对自然现象的理解过程就是：我们力图发现一般概念和自然规律。自然规律只是代表自然变化的一般概念。……因此，当我们不能把自然现象追溯到某一规律时，……理解这种现象的可能性本身就不存在。

    然而，我们必须努力去理解它们。没有任何其它的方法能把它们置于理智的控制之下。这样，在研究它们时我们就必须从这种假定出发：它们是可理解的。从而，充足理由律实际上不过是我们的理智的这样一种强烈要求：把我们所有的感觉都纳入它自己的控制之下。它并不是一种自然规律。我们的理智就是形成一般概念的能力。如果它不能形成一般概念或规律，它就与我们的感知和经验毫无关系。……总而言之，除了理智以外，没有任何其它同等的系统化能力可以用来理解外部世界。这样，如果我们不能够构想出一个事物的话，我们就不可能把它设想成是存在着的。”

    这些话以非常清晰的方式描述了科学精神的一般态度。科学家知道，仍然有大量领域的现象还无法归之于严格的规律和精确的数的规则。然而他仍然忠于这个一般的毕达哥拉斯派教义——他相信，作为一个整体的自然及其所有特殊领域是“一个数和一种和谐”。面对着无限广大的自然，许多最伟大的科学家或许都会有在牛顿的名言中所表达的那种特殊感情。他们或许都觉得，他们在自己的工作中就象一个沿着无边的海岸散步自娱的儿童一样，偶尔好玩地捡起了一块以其形状或颜色吸引了他的注意力的鹅卵石。这种谦虚的看法是可以理解的，但它并没有对科学家的工作作出真实而充分的描述。科学家如果不严格地服从自然的事实就不可能达到他的目的。但是这种服从并不是被动的顺从。一切伟大的自然科学家如伽利略、牛顿、麦克斯韦尔、赫尔姆霍兹、普朗克和爱因斯坦，都不是从事单纯的事实搜集工作，而是从事理论性的工作，而这也就意味着创造性的工作。这种自发性和创造性就是一切人类活动的核心所在。它是人的最高力量，同时也标示了我们人类世界与自然界的天然分界线。在语言、宗教、艺术、科学中，人所能做的不过是建造他自己的宇宙——一个使人类经验能够被他所理解和解释、联结和组织、综合化和普遍化的符号的宇宙。