style="text-align: center; line-height: 150%; margin-left: 10; margin-right: 5; margin-top: 10; margin-bottom: 10" align="center"第一节

    我们的空间概念根植于我们的生理构成。几何学的概念是物理空间的经验的理想化的产物。几何学体系最终源于如此收集的概念资料的逻辑分类。所有三种因素都在清楚明白的近代几何学中留下它们的痕迹。因此，关于空间和几何学的认识论探究涉及到生理学家、心理学家、物理学家、数学家、哲学家，同样也涉及到逻辑学家，他们只有考虑这里提供的广泛歧异的观点，才能够被带到它们的肯定的解答。

    早在青少年时代醒悟到强烈的意识时，我们便发觉我们自己具有包围和环绕我们身体的空间概念，各种各样的物体在这样的空间中运动，部分改变和部分保持它们的大小和形状。我们不可能断定是如何产生这一概念的。只有在意图和方法上计划好的对经验的彻底分析，才能使我们猜想，身体的天生的特质与具有纯粹物理特征的简单的和粗糙的经验之配合可以达到这个目的。

    被看见或被接触的对象，不仅用感觉的质（如“红”、“粗糙”、“冷”等）区分，而且也用处所的质（如“向左”、“上”、“前”等）区分。感觉的质可能依然是相同的，而处所的质却连续地变化；即相同的感觉的对象可以在空间中运动。由于物理－生理的环境一而再地引起这类现象，人们发现，不管偶然的感觉的质可能如何变化，处所的质的相同秩序不变地发生，以致后者必然作为感觉的质所进入的和被分类的、固定的和持久的系统或登记薄而出现。现在，虽然这些感觉和处所的质只能够在相互联合中被激励，只能相伴地使它们呈现，但是无论如何容易产生这样的印象：处所的质的比较熟悉的系统先于感觉的质被给予（康德）。

    第二节

    视觉和触觉的扩大的对象由或多或少可区分的感觉的质构成，而感觉的质与邻近的可区分的，连续渐变的处所的质结合在一起。如果这样的对象运动，特别是在我们支配的范围内运动，我们察觉到它们（整体地或部分地）收缩或膨胀，或者我们察觉到它们依然是相同的；换句话说，刻画它们边界的处所的质的对照或变化，或依然恒定。在后一种例子中，我们称对象是刚性的。通过识别作为与空间位移重合的恒久性，使得我们的空间直觉的各种组分变得可以相互比较——至少在生理学的意义上。通过把不同的物体相互比较，通过引入物理测量，使得这种可比较性变成定量的，变得更精密，从而超过了个体性的限度。于是，对所有人都有效的普适的几何学概念代替了个人的和不可传达的空间直觉。每一个人都有他自己的个人直觉空间；几何学空间对大家则是共同的。我们必须明确区分直觉空间和包含物理经验的度规空间。

    第三节

    大约在上世纪中期，对几何学基础作彻底的认识论阐明的需要诱使黎曼提出空间本性的问题；高斯、罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和两个鲍耶（Bolyai）的注意力先前就被吸引到几何学某些基本假定的经验－假设特征。在把空间的特征刻画为多重广延的“量值”（magnitU众）时，黎曼无疑考虑到可以同样地被想象为充满整个空间的某些几何学构象——例如笛卡儿坐标系。黎曼进而断言：“几何学的命题不能从普遍的量值概念演绎出来，空间籍以与其他可构想的三重广延量值的独特性质只能够从经验中推导。……这些事实像一切事实一样绝不是必然的，而仅仅具有经验的确实性——它们是假设。”按照黎曼的理论，像每一门自然科学的基本假定也是如此一样，经验把我们导向的几何学的基本假定只不过是经验的理想化。

    在这种物理的几何学概念中，黎曼在与他的老师高斯相同的立足点上采取了立场，高斯曾经表示相信，不可能完全先验地确立几何学的基础，并进而断定：“我们必须谦卑地坦白，如果数完全是心智的产物，那么空间另外具有在我们心智之外的实在，我们不能充分地指明关于这种实在的先验定律。”

    第四节

    每一个探究者都知道，他正在调研的对象的知识本质上是通过把它与有关的对象比较而增加的。因此，黎曼十分自然地在他周围寻找提供与空间某种类似的对象。他把几何学空间定义为三室广延的连续的流形（manifold），该流形的要素是由每一组可能的三个坐标值决定的点。他发现“感觉和颜色（原文如此）的对象的处所也许只不过是概念，它的决定的模式形成多重广延的流形。”黎曼的后继者把其他东西添加到这一类比中，他们还加以发挥，但是我认为措词并非总是恰当的。

    第五节

    把空间感觉和颜色感觉比较一下，我们发现，三个混合颜色的感觉系列黑－白、红－绿、蓝－黄对应于连续系列“上和下”、“右和左”。“近和远”。感觉的（看见的）处所的系统是像颜色感觉系统一样的三星连续流形。针对这种类比提出的反对意见，即在后一个例子中三种变化（维度）是均匀的和相互可交换的，而在前一个例子中它们是异质的和不可交换的，在把空间感觉与颜色感觉比较时是无效的。因为从心理－生理学的观点来看，“右和左”不容许与“上和下”交换，犹如红和绿与黑和白不容许交换一样。只有当我们把几何学空间与颜色系统比较时，反对意见才明显地受到辩护。但是，还大量需要确立直觉空间和颜色感觉系统之间完备的类似。在感觉空间中的近似相等的距离立即就辩认出是这样的，而就颜色的差异则不能作同样的评论，在这后一领域内，不可能在生理学上相互比较不同的部分。此外，即使通过诉诸物理经验、在用三个数刻画系统的每一个颜色时不存在困难——恰如刻画几何学空间的处所一样，在创造相似于后者的度规系统时也是如此，那么无论如何，就颜色系统寻找对应于距离和容量、具有类似的物理意义的某种东西，将是困难的。

    第六节

    在类似中总是存在着任意的要素，因为类似关注的是把注意力对准的符合，但是，在空间和时间之间，类似无疑被充分承认，不管我们在词汇的生理学涵义上还是在词汇的物理学涵义上使用这些词汇。在二者的术语的意义上，空间是三重的连续流形，时间是单一的连续流形。正好由其条件决定的，具有适度的即不太长或不太短的持续时间的物理事件，在我们从生理学的角度看来，在现在和其他任何时间似乎具有相同的期间（duration）。在任何时候在时间上同时发生的物理事件，同样地在任何其他时候也是同时发生的。因此，时间的重合存在着，恰如空间的重合存在着一样。因此，不可改变的物理的时间的对象存在着，就像木可改变的物理的空间的对象（刚体）存在着一样。不仅存在空间的实体化（substantiality），而且也存在时间的实体化。伽利略为决定时间使用了像脉博和呼吸的节拍之类的**的现象，正像在古代为决定空间使用手和足一样。

    第七节

    音调感觉的单一流形同样类似于空间感觉的三重流形。音调感觉系统的不同部分的可比较性是由直接感觉到的音乐音程的可能性给予的。对应于几何学空间的度规系统最容易借助振动比率的对数由表达音调的音高得到。对于恒定的音乐音程来说，我们在这里有表达式

    log[n/n]＝logn’－logn＝logT－logT’＝常数，在这里，n’，n表示比率，T’，T分别表示较高的和较低的音调的振动周期。对数之间的差在这里描述位移上的长度的不变性。我们作为音程感觉到的不可改变的、实质性的物理对象对耳朵来说在时间上被决定了，而类似的对象对视觉和触觉来说在空间上被决定了。在我们看来，空间度量似乎更简单，仅仅因为把距离本身选作几何学的基本度量，而距离对感觉来说始终是不可改变的，然而在音调领域，我们只有通过冗长的和迂回的路线才达到我们的度量。

    第八节

    在详细研究我们类比的建构物的符合时，对我们来说，现在依然要强调它们的差异。由于把时间和空间构想为感觉的流形，因而通过改变时间和空间的质使其运动变得可以察觉的对象，被其他感觉的质待征化为颜色、触觉感觉、音调等等。如果把音调感觉系统看作是类似于视觉的感觉空间，那么奇怪的事实产生了，即在第一个领域仅仅出现未由对应于该对象的感觉的质伴随的空间的质，恰如人们在没有看见占据这个处所或延伸这个运动的对象的情况下，却能够看见处所或运动一样。由于把空间的质构想为只能与感觉的质相伴随而被激起的有机体的感觉，因而上述类比看来好像不是特别有吸引力了。对于流形数学家来说，不管确定的颜色的对象是否连续地在视觉空间运动，或者不管在空间上固定的对象是否连续地通过颜色的流形，都呈现出本质上相同的案例。但是，对于生理学家和心理学家而言，两个案例则是大相径庭的，不仅因为上面所提出的理由，而且尤其因为这样的事实：空间的质的系统是我们十分熟悉的，而我们只能够借助科学的手段费力地和人为地想象颜色感觉的系统。颜色在我们看来是作为选录的流形的成员出现的，我们一点也不熟悉这种排列。

    第九节

    在这里与空间类比的流形像颜色系统一样，也是三重的，或者它们描述了较小数目的变化。空间包含作为两重流形的面和作为一重流形的线，数学家在概括时也可能把作为零重流形的点添加其中。对于拉格朗日来说，在构想作为四维——时间被认为是第四个坐标——解析几何的分析力学时，也没有困难。事实上，解析几何的方程以其与坐标的一致，十分清楚地启发数学家把这些考虑推广到不受限制的较大数目的维度。相似地，在考虑推广的物质连续体（continu－urn）——温度、磁势、电势和引力势作为多重流形的部分或截面归因于连续体的每一点——时，物理学也会受到辩护。正如科学史向我们表明的，决不必把使用这样的符号表示看作是完全无结果的。起初似乎没有无论什么意义的符号，在服从可以称之为理智实验的东西之后，便逐渐获得清楚的和精确的含义。只要想一想代数中的负指数、分数指数和变量指数或者下述案例就可以了：在这些案例中，重要的和必不可少的观念的推广占据了在其它地方完全丧失了的、或使它们在以后许多时期出现的位置。只要想一想所谓的虚量就可以了，在它们处在分配给它们以完全确定的甚至可以想像的意义的地位之前，数学家早就用它们运算了，他们甚至从中得到了重要的结果。但是，符号表示同样也有不利之处：容易丧失对所描述的对象的洞察，用频频没有任何对象与之对应的符号继续操作。

    第十节

    很容易起来应付黎曼的n重连续流形的概念，甚至有可能使这样的流形的部分实在化和形象化。设a1，a2，a3，a4……a[n＋1]是无论什么要素（感觉的质、实物等）。如果我们构想这些要素以它们的可能的关系混合，那么每一单个的混合将用表达式

    a1aG1＋a2a2＋a3a3＋……an＋1a[n＋1]＝1表示，在这里系数a满足方程

    a1＋a2＋a3＋……＋a［n＋1］＝1。因为这些系数a可以随乐意而选择，所以n＋l个要素的混合的总体将描述n重连续流形。我们可以把下述形式的表达式看作是这个流形的点的坐标：

    am/a1或f（am/a1），例如log（am/a1）但是，在选择距离或者类似于几何学概念的任何其他概念的定义时，我们将不得不十分任意地进行，除非上述流形的经验告诉我们，某些度现概念具有实在的意义，因此受到偏爱，关于具有针对距离元ds2＝dx2＋dy2＋dz2从物体容量的恒定性导出的定义的几何学空间的案例是这样的，关于具有上面提及的对数表达式的音调感觉的案例同样也是如此。在大多数案例中，这样的人为的建构是这类正缺少的被包含、被固定的点，因此整体的考虑是理想的考虑。与空间的类比从而在完备性。多产性和激励功能方面受到损失。

    第十一节

    可是，在另一个方向，黎曼发挥了高斯的观念；他由后者关于曲面的研究开始。高斯的曲面在任何点的曲率的度量由表达式是k＝do/ds给出，在这里d是曲面的面元，do是单位球的表面面元，而单位球的极限半径平行于面元d的极限法线。曲率的这种度量也可以用形式k＝1／ρ1ρ2来表示，在这里ρ1ρ2是曲面在上述之点的主曲率半径。其曲率的度量对所有点而言有着相同值的曲面——恒定曲率的曲面——具有特殊的兴趣。在把曲面构想为无限薄的、不可膨胀的、但却是固体的物体时，人们将发现，可以使相同曲率的曲面通过弯曲重合——例如平面纸张围着柱面或锥面缠绕就是这样的，但却不能使它们与球的表面重合。在这样变形时，甚至以弄皱的方式变形时，在曲面上所画的图形的成比例的部分就长度和角度来说依然是不变的，倘若我们在我们的测量中不超出曲面的两维的话。相反地，曲面的曲率同样不依赖于它在空间第三维中的构形，而仅仅依赖于它的内部的比例。当时，黎曼构想了概括曲率度量的概念并把它应用于三维或多维空间的观念。与此一致，他设想具有恒定正曲率的有限无界的空间是可能的，它对应于无界但却有限的两维球面，而我们通常认为是无限空间的东西也许对应于曲率为零的无限平面，相似地，第三种空间也许对应于负曲率的曲面。正像在确定不变的曲率的曲面上所画的图形只能在这个曲面上无变形地位移（例如，球面图形只能在它的球面上位移，或平面图形只能在它的平面上位移）一样，类似的条件必然地对于空间图形和刚体也应该有效。正如亥姆霍兹详细表明的，后者能够在恒定曲率的空间中自由运动。恰如平面的最短的线是无限的，而在球面上作为具有确定的有限长度、闭合的和复归为它们自己的大圆出现一样，黎曼同样地构想，在类似物的三维正曲率空间中，直线和平面是有限而无界的。但是，在这里存在着困难。如果我们具有关于四维空间的曲率度量的概念，那么转移到三维空间的特例就能够很容易合理地实行；但是，从特殊的案例向比较一般的案例的过渡包含着某种任意性，这是很自然的，不同的探究者在这里采取不同的路线（黎曼和克罗内克）。对于一维空间（任何种类的曲线）来说，曲率的度量没有内部度量的含义，这样的度量首先出现在与两维图形的关联中，正是这个事实迫使我们询问：某种类似的东西对于三维图形是否有任何意义，在多大程度上有意义？我们用没有实在的事物与之对应、至少用没有什么事物与感觉对应的符号操作，我们错助符号能够证实和纠正我们的观念，我们在这里没有遭遇上述的幻想吗？

    这样便达到了关于空间及其与类似的流形的关系之最高的和最普适的概念，这些概念出自高斯对于几何学的经验基础的确信。但是，这个确信的起源具有两千年的预备的历史，我们也许能够从我们现在达到的高度更充分地概览这一主要现象。

    第十二节

    以手为尺的质朴单纯的人在获知我们的头一批几何学知识后，便把握了最简单的具体对象或图形——直线、平面、圆等等，并且借助能够被构想为这些简单图形的组合的形式研究它们的测量的关联。他们不会不注意到，当物体的一点、接着两点被固定时，它的可动性便受到限制，最后由于固定了它的三个点，它完全停止不动了。假定绕轴（两点）的旋转、或绕平面上一点的旋转像两点与直线和第三点与固定平面恒定接触的位移一样，都通过那条直线，即假定这些事实是分开观察的，那么人们会知道如何在纯粹的转动、纯粹的位移和由这两种独立运动合成的运动之间区分。第一个几何学当然不是建立在纯粹度规概念的基础上，而是对生理的感觉因素作出了许多显著的让步。于是，外观用两种不同的基本度量来说明：（直线的）长度和角度（圆的度量）。直线被构想为刚性的可动的物体（量杆），角度被构想为一条直线相对于另一条直线的转动（用如此画出的弧测量）。无疑地，人们从来也没有要求特别证明用相同的转动在原点画出的角度相等。很容易引出关于角度的附带命题。

    使线段b绕它与c的交点如此转动，以致画出角α（图22），在与c重合后再使它绕它与a的交点转动，直到它与a重合为止，这样便画出用β，我们将在同一指向通过角μ把b从它的初始位置转到它的最终位置。因此，外角μ＝α＋β，因为μ＋γ＝2R，所以α＋β＋γ＝2R。把在它们的平面内在位置1处相交的刚性的线系统a，b，c移动到位置2（图23），线段a总是仍旧在它自身之内，纯粹的运动将不会引起角度的变化。如此产生的三角形1，2，3的内角之和显然是2R。相同的考虑也免除了平行线的性质。

    关于绕几个点的相继转动是否与绕一点转动等价，纯粹的位移是否完全可能的疑问——当用不同于零的曲率的曲面代替欧几里得平面时，这一点受到辩护——在正在考虑的期间从来也不会在纯朴和快乐地发现这些关系的心智中出现。欧几里得在他的全等原理中刻意回避和隐蔽引入的刚体运动的研究，到今天还是最适合几何学基础教育的工具。借助发现观念的方法能最佳地使它为初学者拥有。

    第十三节

    当几何学变成职业的和学者的沉思的科目时，事物的这种健全的和朴素的概念消失了，几何学的处理经历了本质的修正。该科目现在必须为个别的概观起见综合这个部门的知识，必须把能够直接辨认的东西与可以演绎和已被演绎的东西分开，必须明确减少演绎的头绪。为了教育的目的，人们把最简单的原理、最容易获得和明显地摆脱了怀疑和矛盾的东西放在开头，使下余的东西基于它们之上。人们竭尽全力简化这些初始原理，在欧几里得的体系中可以观察到这一点。通过这种用别的概念支持每一个概念，把尽可能小的范围留给直接的知识的努力，几何学逐渐离开了它从中起源的经验的土地。人们习惯于使自己认为推导的真理比直接知觉的真理更高级，并最终开始要求从来也没有人怀疑的命题的证明。就这样，具有其逻辑完美和优雅的欧几里得体系出现了——为了制止诡辩派的猛攻，以致按惯例也会这样进行的。可是，这种把一连串的命题放在任意选取的演绎思路之上的人为方法不仅隐藏了研究的道路，而且也完全丧失了对几何学原理之间各种有机关联的洞察。与富有成果的、多产的研究者相比较，这个体系更适合于生产心智狭窄的和缺乏独创性的学究。当偏好对他人的智力成果作奴性评论的经院哲学在思想者中几乎不培育对于他们的基本假定的合理性的任何敏感性，并且通过补偿的方式在他们中间鼓励对于逻辑演绎形式的夸大的尊重时，这些条件并未得到改善。从欧几里得到高斯的整个时期，都或多或少地遭受了来自这种心智的影响。

    第十四节

    在欧几里得把他的体系建立于其上的命题中，可以找到所谓的第五公设（也称为第七公理，有人称为第十二公理）：“如果一条直线与两条直线相交，以致在它的同一侧的两个内角合在一起小于两直角，那么这些直线在被连续延长时，最终将在其角是小于两直角的那侧处相交。”欧几里得容易证明，如果一条直线落在另外两条直线上时，它使错角彼此相等，那么这两条直线将不相交，而是平行的。但是，对于逆即平行使落在它们之上的每一直线的错角相等的证明，他却不得不诉诸第五公设。这个逆等价于这样的命题：通过一点只能画一条线与直线平行。进而，由于借助这个逆能够证明三角形的角之和等于两直角，以及从这个定理再次得出第一个定理的事实，赋予欧几里得几何学第五公设以独特的和基本的意义的、所讨论的命题之间的关系变得清楚明白了。

    第十五节

    缓慢会聚的线的相交处在作图和观察的范围之外。因此，可以理解，鉴于包含在第五公设中的断言的巨大重要性，欧几里得的后继者由于他习惯于严格性，竟然甚至在古代就绷紧每一根神经证明这个公设，或者用某个直接明显的命题代替它。为了把这个第五公设从欧几里得的其他假定中演绎出来，从欧几里得到高斯时代人们就作出了无数无效的努力。出于十足渴望科学的阐释，在追求潜藏的真理源泉中花费了诸多世纪的辛劳，正是这些人奉献的令人钦佩的场景，可是从来没有一个理论家或实践者实际上怀疑过这一切！我们以热切的好奇心追踪寓居于人类对知识这种追求中的道德力量的固执表达，我们满意地注意到，探究者的失败如何逐渐地导致他们察觉几何学的真实基础是经验。我们将使我们自己满足于几个例子。

    第十六节

    在其对平行理论的贡献方面著名的探究者当中，有意大利人萨凯里（Saccheri）和德国数学家兰伯特（Lambert）。为了使他们的进攻模式变得可以理解，我们将首先谈到，我们相信我们经常观察的矩形和正方形的存在，在不借助第五公设的情况下无法证明，例如，让我们考虑两个在A和D具有直角的全等的等腰三角形ABC，DBC（图24），

    并设它们在它们的斜边BC处在一起，以致形成等边的四边形ABCD，欧几里得的头27个命题不足以决定在B和C处的两个相等的（直）角的特点和大小。因为长度的度量和角度的度量根本不同且不可直接比较；因此，关于边和角的相关的头一批命题仅仅是定性的，关于像角之和这样的角的定量定理的绝对必要性从而也是如此。进而要谈到的是，类似于欧几里的27个平面几何命题的定理也可以针对球面和具有恒定负曲率的曲面建立，在这些案例中类似的作图分别在B和C处给出钝角和锐角。

    第十七节

    萨凯里的主要成就是他陈述这个问题的形式。如果第五公设包含在余下的欧几里得假定中，那么就可能在没有它帮助的情况下证明，在A和B处具有直角且AC＝BD的四边形ABCD（图25）中，在C和D处的角同样也是直角。另一方面，在这个项目中，C和D或是钝角或是锐角的假定将导致矛盾。换句话说，萨凯里力图从直角、钝角或锐角的假设引出结论。他表明，如果证明这些假设的每一个在一个案例中成立，那么它将在所有案例中都成立。为了证明锐角、直角或钝角的假设的普适有效性，仅仅必须拥有一个其角2R的三角形。值得注意的是这一事实：萨凯里也谈到支持直角假设的生理－几何学实验。如果线段CD（图25）与垂直于直线AB的相等的垂线的两个端点连结，从第一条线的任何一点N出发在AB上终止的垂线即NM等于CA＝DB，那么直角的假设被证明是正确的。萨凯里如实地不认为，与另一个直线等距的线本身是直线并非自明。只要想一想平行于球上的大圆的圆就可以了，该圆没有描绘球上的最短线，不能使它的两面全等。

    直角假设正确性的另一个实验证明如下。如果表明半圆中的角（图26）是直角，即α＋β＝R，那么2α＋2β＝2R是三角形ABC的角之和。如果使半径在半圆上三次对向（subtend），且连结第一个和第四个端点的线通过圆心，那么我们将在C处有（图27）3α＝2R，从而三个三角形的每一个将有角之和2R。不同大小的等角三角形（相似三角形）的存在同样有待于实验证明。就图28而言，若在B和C处的角给出β＋δ＋γ＋ε＝4R，则四边形BCB’C’的角之和也是4R。甚至沃利斯（1663）把他对第五公设的证明建立在相似三角形存在的假定上，近代几何学家德尔布吕夫（Delboeuf）从相似假定演绎出整个欧几里得几何学。

    萨凯里相信，他能够轻而易举地驳倒钝角假设。但是，锐角假设却把困难摆在他的面前，他在对所期望的矛盾的寻求中被带到一个意义最深远的结论，罗巴切夫斯基和鲍耶随后用他们自己的方法重新发现了这些结论。他最终感到不得不把最后命名的假设作为与直线的本性不相容的东西加以拒斥；因为它导致在无穷远处相