style="text-align: center; line-height: 150%; margin-left: 10; margin-right: 5; margin-top: 10; margin-bottom: 10" align="center"第一节

    对于动物机体来说，它自己的身体不同部位的相互关系以及物理对象与这些不同部位的相互关系，原来具有最重大的意义。它的生理空间感觉系统建立在这些关系的基础上。在比较复杂的生活条件下，简单的和直接的需要的满足是不会发生的，这些条件导致理智的增长。于是，相互接近的物理的、尤其是空间的物体行为可以获得超越于暂时感觉兴趣的非即时和间接的兴趣。以这种方式，世界的空间图像被创造出来，起初本能地被创造，接着在实践的艺术中被创造，最后科学地在几何学形式中被创造。物体的相互关系就它们由空间感觉决定而言是几何学的关系，或者在这样的感觉中找到它们的表达。正如没有热的感觉就不会有热理论一样，没有空间感觉也不会有几何学；但是，热理论和几何学二者附带需要关于物体的经验；这就是说，它们二者必须超越构成它们的独特基础的感觉域的狭窄边界。

    第二节

    孤立的感觉只是在动物生活的最低级阶段才具有独立的意义；例如，像在反射运动中，在消除对皮肤某些讨厌的刺激中，在蛙的猛扑反射中等等。在较高级的阶段，注意不仅仅对准空间感觉，而且也对准与空间感觉合在一起的、我们称之为物体的其他感觉的错综的和密切的复合。物体引起我们的兴趣；它们是我们的活动的对象。但是，我们的活动的特征巧合地由物体的位置决定，不管它是近还是远，不管在上还是在下等等，换句话说，是由概括其特征的空间感觉决定的。因此，反应模式由能够达到物体的无论那些东西决定，不管通过伸展臂膀，通过几个或许多步骤，通过投掷物体，还是其他别的什么。物体激起的易感觉的要素的量（数量），它覆盖的位置数量，也就是说它的体积，在所有其他事情相同时，正比于它满足我们的需要的能力，因而具有生物学的重要性。虽然我们的视觉和触觉本来只是由物体的表面产生的，但是强大的联想尤其驱使原始人比他实际观察的想像得更多，或者像他以为的那样，察觉得更多。他想像，他仅仅察觉的表面包围的地方充满物质；当他看见或抓住他有几份熟悉的物体时，情况尤其如此。意识到我们只是察觉物体表面，需要显著的抽象能力——不能把这种能力归于原始人。

    第三节

    被捕食的和有用的对象的特别明显的形状，在这方面也具有重要性。人通过与他的环境的交流学会了解某些确定的形式，即某些特殊的空间感觉的组合，甚至用纯粹生理的特征也能毫不含糊地刻画它们。直线和平面由于它们的生理学上的简单性被区分高于其他形式，圆和球同样也是这样。对称的和在几何学上相似的形式的密切关系，被纯粹的生理学的特征揭示出来。我们从我们的生理经验中获取的形状的多样性，决不是无足轻重的。最后，通过使用身体的对象，物理经验也把它的丰富定额贡献给普遍的贮存。

    第四节

    粗糙的物理经验迫使我们把某种经久不变性赋予物体。除非有不这样做的特殊理由，也把同一经久不变性归于复合“物体”的个别属性。我们也认为物体的颜色、硬度、形状等是恒定的；尤其是，我们把物体视为相对于空间是恒定的、不可破坏的。空间的恒定性、空间的实质性的假定，在几何学中找到它的直接表达。我们的生理的和心理的组织独立地预先倾向于突出恒定性；因为普遍的物理恒定性必然地在我们的组织——这本身是物理的——中形成积淀，尽管在种族的适应中十分确定的物理恒定性曾起过作用。由于记忆在物体原来的形式和维度上复活了以前感知的物体的图像，它为辨认相同的物体提供了条件，从而为恒定性的印象奠定了第一个基础。但是，几何学还需要某些独特的经验。

    第五节

    设物体K被突然从环境FGH运送到环境MN（而离开观察者A运动。对于视觉观察者A来说，物体K在大小上减小，并一般地呈现不同的形式。但是，对于和K一起运动并相对于K保持相同位置的视觉观察者B来说，K依然是不变化的。触觉观察者经历类似的感觉，虽然各自的减小在这里正需要接触感觉不是传心术感觉的理由。A和B的经验现在必须是和谐的，他们的矛盾必须被消除——当同一观察者交互地扮演A和B的角色时，这个要求变得尤为紧迫。他们能够是和谐的唯一方法，是把独立于它相对于其他物体的位置之恒定的空间性质赋予K。在观察者A中由K决定的空间感觉，被认为依赖于其他空间感觉（K相对于观察者A的身体的位置）。但是，在A中由K决定的这些相同的空间感觉，独立于表示K相对于B、或相对于FGH……MNO的位置的其他空间感觉。我们在这里涉及的恒定性，正处在这种独立性中。因此，几何学的根本假定基于经验，尽管是理想化的类型的经验。

    第六节

    由于所考虑的经验采取明显的和完全决定的形式，因而物体K必须是所谓的刚体。如果与三种截然不同的感性知觉作用联系在一起的空间感觉依然是不改变的，那么针对空间感觉复合的不变性给出的条件就由刚体决定。从感官生理学的观点来看，对物体产生的空间感觉的这种决定借助三个空间感觉要素从而刻画了刚体的特征。这对于视觉和触觉感觉二者也有效。在使用这种标示时，我们正在思考的不是刚性——在定义刚性时我们会被迫进入不同的感觉域——的物理条件，而是仅仅给予我们的空间感觉的事实。实际上，我们现在正在把每一个物体视为具有所分配的性质的刚体，甚至把流体也如是观，只要它们的部分彼此之间不相对运动。

    第七节

    尽管几何学不涉及有形的对象、而涉及理想的对象这一经常反复的争论是恰当的，但是依然不容怀疑，几何学起源于集中在有形物体的空间关系的兴趣。它拥有这一起源的最分明的标志，它的发展路线只有在考虑到这些痕迹时才是可以充分理解的。我们对于物体的空间行为的知识建立在它们产生的空间感觉的比较之基础上。即使没有人为的或科学的最小帮助，我们也能获得丰富的空间经验。我们能够近似地判断，我们察觉相互并排地在不同距离处于不同位置的刚体，当使它们相继处于同一位置时，它们将近似地产生相同的还是不相似的空间感觉。我们十分恰当地了解，一个物体是否将与另一个物体重合，平直地放在地上的杆子是否将达到某一高度。不过，我们对空间的感觉受生理环境的支配，生理环境对于被比较的成员来说，从来也不能是绝对等价的。在每一个严格检查的案例中，必然要把感觉的记忆痕迹与实在的感觉比较。因此，如果它是物体相互之间精密的空间关系问题，那么我们必须提供尽可能不依赖生理条件的特征，从而难以控制。这是通过把物体比较完成的。物体A是否与另一个物体B重合，是否能够使它精密地占据另一个物体充满的空间，也就是说，在相似的环境下两个物体是否产生相同的空间感觉，这一切能够以极大的精确性估计。我们认为，这样的物体是在空间上或几何学上在各个方面相等的——是全等的。感觉的特点在这里不再是权威的；它现在仅仅是感觉的相等或不相等的问题。如果两个物体都是刚体，那么我们能够把我们在与第一个比较方便的、比较容易移动的标准物体A相关联中收集的所有经验应用到第二个物体B。我们将把前者回复到环境，以致使用特殊的比较物体或标准物体对每一个物体来说既不必要，也不可能。最方便的比较物体——虽则仅仅勉强地可以应用——即我们总是在我们眼前具有移动时不变的物体，是我们的手和足（feet）、我们的臂和腿。最古老的度量名称清楚地表明，我们最初用一手之宽（handbreadth）、前臂长（forearms

    ells）、脚长（英尺）（feet）、步度（Paces）等进行我们的测量。只不过较高的测量精确度是由引入约定的和仔细保存的物理标准开始的；原理依然是相同的。度量能使我们比较难以移动或实际不动的物体。

    第八节

    正如已经评论的，具有最强烈兴趣的东西，不是物体的空间性质，而主要是物体的物质性质。这个事实甚至在几何学的开端肯定找到了表达。物体的容积被本能地作为描述物质性质的量来考虑，在它的几何学性质收到接近深刻思考的任何东西之前好久，就开始成为争论的课题。然而，正是在这里，比较即容积的测量获得它的最初的意义，从而在早期的几何学的主要的和最重要的问题中占据了它的位置。头一批容积测量无疑是液体和果实的测量，是用中空的量具进行的。目标是方便地确定同样的物质的量，或同类的、形状相似的（等价的）物体的量（数量）。因此，相反地，贮藏室（谷仓）的容积很可能起初就用它能够容纳的同类物体的量或数量来估算。用容积单位测量容积很可能是晚得多的概念，只能在较高的抽象阶段上才能得以发展。

    第九节

    面积的估计无疑也是由一块田地能够容纳的结果实的或有用的植物的数量，或由能够在其中播种的种子的量引起的；或者可能由这样的工作需要的劳力引起的。当相同大小和形状的田地彼此相处较近时，在这种关联中显然容易使人想到用一个面测量一个面。在这里，人们几乎无法怀疑，由n个相同大小和形式的地块组成的田地也具有n倍的农业产值。当我们考虑埃及人、甚至罗马农人通常所犯的面积测量的错误时，我们不会倾向于低估这一理智步骤的意义。即使对于像希腊人这样的具有杰出的几何学天才的人来说，而且在后来的时期，我们也偶尔遇见具有相等周长的面在面积上是相等的观念的零星表达。当波斯的“超人”薛西斯希望清点军队——他必须“供养”它们，他在鞭打下驱使他们跨越赫勒斯滂进攻希腊人——时，他采取下述步骤：让10000人整队紧紧挤在一起。用围栏把他们复盖的面积围起来，为了计数别的10000，把军队的每一个相继的分队，或者更恰当地讲，把一群奴隶赶进并充满栅栏。在这里，我们碰到下述观念的相反的应用：用相等的、等价的、直接毗连的、覆盖面的物体的量（数量）测量面。在抽象中，起初是本能地，然后是有意地，从这些物体的高度过渡到借助面的单位测量面。类似的用容积测量容积的步骤要求更多实践的、受过几何学训练的直觉。它是在较晚达到的，甚至在今天对民众而言也不大易懂。

    第十节

    用一天的旅程、旅行的时间等计算的对长距离的最古老的估计；无疑建立在努力、劳作和为行走这些距离必需耗费的时间的基础上。但是，当用手、脚、臂、棒或链的重复应用测量长度时，那么准确地观察，测量是通过同类物体的计数进行的，我们实际上再次从事容积的测量。这一概念的奇特性在这种阐明的过程中将消失。现在，如果我们起初本能地、然后有意识地从物体的两个横向线度抽象，那么我们便达到用线来测量线。

    第十一节

    通常把面定义为空间的边界。因此，金属球的面是金属和空气之间的边界；立或者是金属的一部分，或者是空气的一部分。类似地，一维的线是面的边界；例如，赤道是半球面的边界。无维度的点是线的边界；例如，圆的弧的边界。点通过它的运动生成一维的线，线通过它的运动生成二维的面，面通过它的运动生成三维的立体空间。这一概念根本没有把困难给予擅长抽象的心智。无论如何，它遭受了它并未显示出来的、但是相反地却人为地隐蔽起来的退却，即藉以达到抽象的自然而实际的途径。因此，在长度的测量被讨论之后，当从这种观点尝试定义面的度量或面积的单位时，便感到某种不便。

    第十二节

    如果把每一种测量视为借助直接毗连的、在空间上等价的、或者至少假设性地等价的物体来计数空间，而不管我们涉及的是容积、面、还是线，那么便达到比较同类的概念。可以把面看作是处处具有相同的恒定厚度的物质薄板，我们可以使厚度随意变小，变得逐渐消失地小；可以把线看作是具有恒定的、逐渐消失地小的厚度的绳子或丝线。于是，点变成我们有目的地从其广延抽象的小的有形的空间，不管它是另一个空间的、面的一部分，还是线的一部分。在计数中使用的物体可以具有符合我们需要的任何小东西或任何形式。没有什么事情妨碍我们以通常的方式把这些图像理想化，而这些图像只是由于不顾薄板和丝线的厚度，以所指明的自然的方式达到的。呈现出几何学基本概念的通常的和多少有些胆怯的模式，无疑归因于下述事实：使数学摆脱它的早期基本形式的历史的和偶然的镣铐之无限小方法，在稍后的发展时期之前并未开始影响几何学，几何学与物理科学坦白而自然的联盟也在较晚之前还未通过高斯恢复起来。但是，这些要素现在将不带有我们的较充分洞察的长处，其原因还没有清楚地看出。甚至莱布尼兹也提到这样的事实，即在我们的几何学定义中从固体开始也许是比较合理性的。

    第十三节

    借助固体对空间、面和线的测量，是一个我们精制的几何学方法变得完全与之疏远的概念。可是，这一观念不仅仅是目前理想化的方法的先驱，而且它在几何学的心理学中起着重要的作用，而且我们发现它在发展的后期还强有力地活跃在这个领域的研究者和发明者的工作室。卡瓦列里的除不尽法通过这一观念好像最能理解。采用他本人的说明，让我们把要比较的面（求面积）看作是仿照织物的经线的方式，用我们意欲的任何数目的等距离的平行丝线覆盖，把要比较的空间（求容积）看作是用平行的薄纸片充满。于是，丝线的总长度可以作为面的量度，纸张的总面积可以作为容积的量度，测量的准确性可以进行到我们希望的任何一点。如果相同的等距离的物体充分接近到一起且具有恰当的形式，那么其数目恰如绝对覆盖面或绝对充满空间的等价物体的数目一样，完全能够提供面和一致空间的数值量度。如果我们使这些物体收缩，直到它们变成线（直线），或者直到它们变成面（平面），那么我们将得到面分为面元和空间分为空间元，同时得到用面习惯测量面和用空间习惯测量空间。卡瓦列里的有缺陷的讲解不适应他的时代的几何学状况，它招致几何学史家对他的漂亮的和富有创见的步骤进行十分严厉的批评。亥姆霍兹的批判性判断在易受攻击的时刻服从他的想像力，他在他的伟大的年轻时代的著作中能够认为面是包含在它之内的线（纵坐标）的总和，这个事实只不过是这个独创性的自然的概念达到的伟大深度的证据，是它藉以再断言它自己的便利的证据。

    第十四节

    于是，我们首先具有可动物体存在的普遍经验，不管物体的可动性，必须把上面记述的感觉中的某种空间的恒定性、恒久地等价的性质归因于这一点——一种构成测量概念的基础的性质。但是，除此以外，还存在着在职业和艺术的追求中本能地收集的诸多形形色色的特殊经验，这些特殊经验把它们的份额也贡献给几何学的发展。由于这些经验部分地以未曾料到的形式出现，部分地相互和谐一致，有时在不小心应用时，甚至变得卷入看来好像是自相矛盾的东西之中，因此它们扰乱了思想的进程，激励思想追求这些经验的有序的逻辑关联。我们现在将全神贯注于这些过程中的某一些。

    第十五节

    即使希罗多德的众所周知的陈述也是不够格的，他在陈述中把几何学的起源归之于在埃及人中的土地测量；即使该叙述也完全丢失了欧德摩斯（Eudemus）关于早期几何史留下的东西和我们所知的从普罗克洛斯那里摘录的东西，在我们看来，也许不可能怀疑几何学的前科学时期存在过。第一个几何学知识是偶然地、在没有计划的情况下，在实践经验的路线上，在与最多变的使用的关联中得到的。它是在科学精神或对上述经验的相互关联的兴趣仅仅有点发展的同时获得的。甚至在我们的几何学开端的贫乏历史中，这也是明白的，不过在一般的原始文明的历史中更加如此，在那里众所周知，技术的几何学应用存在于如此之早的野蛮时代，以致绝对地排除科学努力的假定。

    第十六节

    所有原始部落都从事编织技艺，在这里像在他们的绘图、绘画和木刻中一样，出现了由最简单的几何学形式构成的更可取的装饰主题。因为这样的形式像我们的儿童绘图一样，符合他们想要模仿的对象的简化的、典型的、图式的概念，而用他们的原始工具和手工的灵巧最容易制作的也正是这些形式。由一系列类似形状的、相互颠倒的三角形或由一系列平行四边形构成的这样的装饰（图11），清楚地暗示出这样的观念：当把三角形三个角的顶点放置在一起时，它们之和构成两个直角。在由相同形状的不同颜色的石料建造习惯的镶嵌图和铺路面时，这个事实也不可能逃脱亚述、埃及、希腊等地的陶工和石工。一点周围的平面场地能够被仅仅三个正多边形，即被六个等边三角形、四个方形和三个正六边形完全填满，这个毕达哥拉斯学派的定理暗示出同一来源。在早期希腊人证明关于任何三角形角之和定理的下述方法中，也揭示出相同的起源：把三角形分割（通过画高线）为两个直角三角形，并相应于这样得到的部分完成矩形。同样的经验也发生在其他许多场合中。如果测量者绕多边形地块步行，那么他将在到达起点时发现，他转了由四个直角构成的一个完整的循环。相应地，在三角形的案例中，由于内角和外角由六个直角构成（图12）．

    在减去循环的三个外角a，b，c后，将依然有两直角作为内角之和。高斯的同代人蒂鲍（Thibaut）使用了定理的这一推导。如果制图员通过绕内角总是在相同的方向上转动他的直尺画三角形（图13），

    那么他将在抵达第一个边时再次发现，若他的直尺的棱在开始时向着三角形外部放置，则三角形此时将处在内部。在这个步骤中，直尺在相同的方向扫过三角形的内角，在这样扫过时完成了半个循环。泰勒评价说，折布或折纸可以导致相同的结果。

    如果我们以图14所示的方式折一个三角形纸片，那么我们将得到在面积上等于半个三角形的双矩形，在这里将看到，在a处重合的三角形的角之和是两直角。虽然通过折纸可以得到一些十分令人惊讶的结果，但是几乎不能假定，这些过程在历史上对几何学来说是十分多产的。该材料具有非常有限的应用，使用它的工匠一点也未受刺激去进行精密观察。

    第十七节

    因此，平面三角形的角之和等于一个确定的量即两直角的知识，是通过经验达到的，这与杠杆定律及玻意耳和马略特（Mariotte）定律没有什么不同。的确，无论无助的眼睛，还是用最灵敏的仪器测量，都不能绝对地证明，平面三角形的角之和严格地等于两直角。但是，该案例恰恰与杠杆定律和玻意耳定律相同。因此，所有这些定理都是理想化的和图式化的经验；因为实际的测量将总是显示出与它们的轻微偏离。气体定律被进一步的实验证明仅仅是近似的，在不得不以极大的精确性描述事实时需要修正它，而杠杆定律和关于三角形的角之和的定理却像会导致我们预期的实验的不可避免的误差一样，依然精密地与事实一致；可以使建立在这两个作为初始假定的定律基础上的所有结果成为同一陈述。

    第十八节

    处在同一直线上以它们的底相互并排地铺设的相等而且相似的三角形，也必定导致十分重要的几何学知识的片断（图15）。如果把三角形沿直线移置在平面上（没有转动），那么它的所有点，包括它的边界线的点，将描绘相等的路线。因此，相同的边界线将在任何两个不同的位置提供在所有点彼此等距离的两个直线系统，该操作保证了由位移的线在两条直线的相应侧面形成的角相等。所以在位移的线的同一侧上的内角之和被决定是两直角，这样便达到了欧几里得的平行定理。我们可以添加说，扩大这类铺设的可能性无限制地、必然地把增加的明显性给予这个发现。直到今天，三角板沿直尺滑动依然是画平行线的最简单。最自然的方法。几乎没有必要评说，平行定理和三角形角之和定理是不可分割地关联的，只不过描述了同一经验的不同方面。

    第十九节

    上面提及的石工必须无困难地做出正六边形能够由等边三角形构成的发现。这样直接产生了把圆分割为部分的最简单的例子，即用半径把圆分为六部分、把它分为三部分等等。每一个木工本能地、几乎在没有思考的情况下就知道，由于圆的完美的对称性，能够从圆柱形的树干以无限数目的不同方式切割出具有矩形对称横截面的朽木。桁木的棱都将处在圆柱的表面，截面的对角线通过中心。按照汉克尔和秦勒的的观点，正是以这种方式，可能做出了在半圆上内接的所有角都是直角的发现。

    第二十节

    拉长的线提供了直线的显著的形象化。直线是由它的心理学的简单性刻画出特征的。它的所有部分引起相同的方向感觉；每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值；每一个无论多么小的部分都类似于每一个无论多么大的其他部分。虽然它影响了许多作者的定义，但是几何学家用这种心理学的特征却无法完成定义。形象化的图像必定是被关于在几何学上合用的物质对象的物理经验丰富的。设把绳子一端扎在A，没把它的另一端通过环形物扎在B。如果我们在B处在终端拉绳子，我们将看到以前处于A和B之间的绳子的部分在B处通过，而与此同时绳子将趋近直线的形式。与组成曲线相比，较少数目的绳子的相似部分即等价的物体足以组成连结A和B的直线。断言直线借助纯粹的想像被认为是最短的线，这是错误的。就质而论，我们的的确确能够在想像中以完善的精确性和可靠性复制绳子经历的形式和长度的同时发生的变化。但是，这无非是关于物体的先验的经验——思想中的实验——的复活。对空间的纯粹被动的冥思从来也不会导致这样的结果。测量是包括物理反应、重合实验在内的经验。具有不同方向和长度的形象化的或想像的线不能即刻相互应用。必须用被认为是不可改变的物质对象实际地经验这样的程序的可能性。把直线作为两点之间最短距离的本能的知识赋予动物是错误的。如果刺激吸引动物的注意力，如果动物如此转动以使它的对称平面通过刺激的对象，那么直线是唯一地由该刺激决定的运动的路线。在洛布关于动物向性（tropisms）的调研中，明确地表明了这一点。

    第二十一节

    进而，仅有形象化不能证明三角形的任何两边在一起大于第三边。确实，如果把两边通过绕底角顶点旋转放在底上，那么只有通过想像行为才能看到，两边与它们在圆弧上运动的自由端点最终将交叠，从而比填补底还要多。但是，我们不应该达到这一描述，倘若在与物质对象的关联中实际上没有目睹该程序的话。欧几里得从每一个三角形的较大边与较大角相对的事实，迂回地和人为地演绎这个真理。但是，在这里，我们知识的来源也是经验——物理的三角形的边运动的经验；然而，这个来源被演绎的形式吃力地隐蔽起来，这并没有伴随明白和简洁的增加。

    第二十二节

    但是，用在先的经验的真理并未穷竭直线的性质。如果把任何任意形状的金属线放在木板上与两个直立的钉子接触，并如此沿着滑动，以使它总是与钉子接触，那么在钉子之间的金属线的部分之形式和位置将不断地变化。金属线越直，变化将越轻微。弯曲的金属线在绕它自己的固定点中的两个转动时，它将继续不断地改变它的位置，但是直的金属线将依然保持它的位置，它将在它自身之内转动。现在，当我们把直线定义为由它的点之中的两个完全决定的线时，在这个概念（concept）中，除了从所提到的物理经验推导出的经验概念（no－tion）——这种概念决不是由想像的生理行为直接提供的——的理想化之外，不存在其他东西。

    第二十三节

    平面像直线一样，也是由它的简单性刻画其生理学上的特征的。它似乎在各个部分都是相同的。每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值。每一部分无论多么小都与每一其他无论多么大的部分相像。但是，如果必须把这些性质表达为几何学的陈述，那么也需要在与物理对象的关联中获得的经验。平面像直线一样，在生理学上关于它本身为对称，倘若它与物体的中线平面重合或与同一平面成直角的话。但是，为了发现对称是平面和直线的恒久的几何学性质，必须把二者的几何作图作为可动的、不可改变的物理对象给出。生理上的对称与度规性质的关联也需要特殊的度规证明。

    第二十四节

    在物理上，平面通过把三个物体在一起摩擦来构造，直到得到三个面A，B，C为止，每一个面严格地符合另一个，既没有凸面，也没有凹面，而只有平坦的面，正如图16表明的，这是一个能够完成的结果。实际上，凸状和凹状是通过摩擦去除的。类似地，比较真实的直线能够借助不完善的直尺得到：首先放置直尺使它的末端紧靠点A，B，接着从它的位置转动它通过180度的角度，再把它紧靠A，B放置，此后把如此得到的两条线之间的平均值作为比较完善的直线，并用最后得到的线重复该操作。在通过摩擦产生平面时，也就是说，在通过摩擦产生在所有点和两侧具有相同形式的面时，经验提供了附带的结果。把这样两个平面一个放在另一个之上，人们将获悉，该平面到自身之上是可取代的，在自身之内是可转动的，正像直线那样。在平面上任何两点之间拉长的丝线完全落在平面内。横越平面任何边界部分的拉紧的布块与平面重合。因此，平面在它的边界代表面的极小值。如果把平面放在两个尖锐的点上，它还能够绕连结点的直线转动，但是任何在这条直线之外的第三点固定了平面，也就是说，完全决定了它。

    在上面提及的给维塔莱·焦尔达诺（Vitale

    Giordano）的信中，当莱布尼兹把平面定义为把无界的固体分为两个全等的部分，把直线定义为把无界的平面分两个全等的部分时，他最直率地使用了这种关于物质对象的经验。

    第二十五节

    如果把注意力指向平面关于它自身的对称性，并且假定两点一个在它的每一侧，每一个关于另一个为对称，那么将发现，平面上的每一点都与这两点等距离，莱布尼兹的平面定义达到了。直线和平面的一致性和对称性，分别是它们为长度和面积的绝对极小值之结果。尽管为给出极小值的边界必须存在，但却没有包含其他附属条件。极小值是唯一的，在它的种类方面是单独的；因此，它关于边界点为对称。由于极小值的绝对性，每一部分不管多么小，再次展现出相同的极小性质；从而展现出一致性。

    第二十六节

    有机地相关的经验真理可以相互独立地造成它们的外观，无疑在已知它们相关的事实