纯粹数学这门科学在近代的发展可以说是人类性灵最富于创造性的产物。另外还有一个可以和它争这一席地位的就是音乐。一切争雄问题我们都可以略而不谈，而要考察一下我们有什么理由承认数学应占有这个地位。数学的创造性就在于事物在这一门科学中显示出一种关系，这种关系不通过人类理性的作用，便极不容易看出来。因此，所有能够直接从感官感觉中得到的概念，除开现存数学知识所引起和引导的知觉以外，其余的都和当代数学家心中所存在的概念风马牛不相及。

    我们不妨回溯到几千年以前，看看当时的人甚至连最伟大的贤哲的脑筋都是多么简单。某些抽象概念在我们看来也许一眼就能看清，但他们却认为只能作大概的理解。就拿数字来当例子吧。我们认为“5”这个数字可以应用到任何适当的一群实念上去，如5条鱼、5个小孩、5个苹果、5天等。因此，在考虑数字“5”与数字“3”的关系时，我们所想的便是两群东西，一群有5个个体，另一群有3个个体。我们决不会去考虑组成两群的任何个别的实有，甚至也不会去考虑其中的某一类实有。我们所考虑的两群之间的关系与两群中任何个体本身的本质完全无关。这便是抽象推理中非常显著的功绩。人类要达到这一步必然花去了不少的岁月。在漫长的时间中，一堆堆的鱼必须互相比出一个多少，一段一段的日子也要作出一个比较。但首先注意到7条鱼和7天之间的共同点的人必然使思想史进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人。当时他一定还不可能看出有待发现的抽象数学观念的复杂性与微妙性，也一定料想不到这些观念会在往后的每一个世纪中发生广泛的吸引力。学术界有一个错误的传统，认为对数学的爱好是一种怪癖，每一个时代只有少数的怪人才有这种怪癖。情形尽管是这样，但抽象思维在古代的社会里是找不到类似例子的。因此，从这里面所能得到的乐趣也是难以估计的。第三，数学知识对人类的生活、日常事务、传统思想以及整个的社会组织等等都将发生巨大的影响，这一点更是完全出乎早期思想家的意料之外了。甚至一直到现在，数学作为思想史中的一个要素来说，实际上应占什么地位，人们的理解也还是摇摆不定的。假如有人说；编著一部思想史而不深刻研究每一个时代的数学概念，就等于是在“汉姆雷特”这一剧本中去掉了汉姆雷特这一角色。这种说法也许太过份了，我不愿说得这样过火。但这样做却肯定地等于是把奥菲莉这一角色去掉了。这个比喻是非常确切的。奥菲莉对整个剧情来说，是非常重要的，她非常迷人，同时又有一点疯疯癫癫。我们不妨认为数学的研究是人类性灵的一种神圣的疯癫，是对咄咄逼人的世事的一种逃避。

    当我们想到数学时，心里便出现一种专门探讨数、量、几何等等的科学。近代数学还包括许多更抽象的序数概念以及纯逻辑关系的类似型式的研究等等。数学的特点是：我们在这里面可以完全摆脱特殊事例，甚至可以摆脱任何一类特殊的实有。因此并没有只能应用于鱼、石头或颜色的数学真理。

    当你研究纯数学时，你便处在完全、绝对的抽象领域里。你所说的一切不过是：理性坚信任何实有如果具有能满足某某纯抽象条件的关系，就必然也具有能满足另一件纯抽象条件的关系。

    数学被认为是在完全抽象的领域里活动的科学，它和自身所研究的任何特殊事例都脱离了关系。这种数学观还不太明确，所以我们可以相信，一直到现在这种看法还不能为一般人所了解。举个例来说，一般人在习惯上都认为我们对实际宇宙空间的几何知识的肯定性所根据的理由就是数学的肯定性。这一幻觉在过去曾引起过许多哲学思维，到现在也仍然能引起一些哲学思维。几何问题是一个相当重要的测验。对于许多群未定的实有说来，有好几套不同的纯抽象条件都可以成为这些群之间的关系。我把这些条件称为几何条件。我们在自身对于自然界的直接感觉中可以观察到事物之间具有某种几何关系。上述的抽象条件中有某些条件被认为是可以适用这种特殊几何关系的。而其他各种抽象条件一般说来又都类似这种条件，因此我便通称之为几何条件。但我们这种观察还不够准确。所以关于我们在自然界中所见到的事物，究竟受着什么样的条件控制，也知道得不够确切。但我们只要把假说稍微引伸一下，就能使这些被观察到的条件符合某一套完全抽象的几何条件。这类未定实有原先在抽象科学中本只是一些单纯的叙述。但这样一来，我们就对它作出了某种特殊的决定。在关于几何关系的纯数学中，如果任何一群实有在本群各单位之间所具有的任何关系能满足某一套抽象的几何条件，则某种性质的附加抽象条件一定也能符合这种关系。但当我们讨论物理空间时，便会说某群被确定地观察到的物理实有在本群各实有之间具有某种被确定地观察到的关系，这种关系能满足上述的一套抽象几何条件。因此我们就作出结论说：如果某种附加关系被认定能符合任何这类情形，就一定能符合这一特殊情形。

    数学的肯定性建筑在它完全抽象的一般性上。我们相信实际世界中被观察到的实有能成为我们普遍推理过程中的一个特殊事例，但我们并没有先天的肯定性可以认为这种信念是对的。不妨再举一个算术中的例子来看：纯数学中有一条普遍的抽象真理，认为任何包含40个实有的一群可以分为包含20个实有的两群。因此我们便有根据认为，如果某堆苹果包含40个个体，便可以分成两堆，每堆中包含20个个体。但我们把40个那一堆数错的可能是常有的，所以实际上分的时候就可能有一堆多一个，另一堆少一个。

    因此，当我们评述一种理论时，如果它的基础是把数学应用在特殊的实际事例上，我们心中便应当把以下三种过程完全记清楚。首先我们必须细细地检查一下纯数学的推理，验明它没有漏洞，没有因为偶然疏忽而产生的不合逻辑的地方。

    任何数学家都能从本身痛苦的经验中认识到，开始拟定一系列推理过程时很容易发生一点极微小的错误，后来却因此而差之毫厘、谬以千里。但当一种数学推论已经检验过，并且在专家们之前考验过一个时期之后，偶然的错误是不大可能发生的。接着，第二个过程是，确实肯定一下，这个推论所预先假定的抽象条件是否可以成立。这就是把数学推论开始的抽象前提确定一下。这一过程是相当困难的。以往曾经发生过极其显然的疏忽，而且这些竟被许多最伟大的数学家历代相沿地接受下来了。这里面最大的危险就是疏忽；也就是说，在不知不觉之间引入某些我们认为自然应当事先设定的条件，然而事实上这些条件却不一定都能成立。在这一方面还存在着一个相反的疏忽，这种疏忽倒不会造成错误，只是会使推理复杂化。也就是说，必要的假设条件很容易被估计得多于实际的要求。换句话说，我们可能认为某些抽象的假设是必要的，但实际上却可以从其他已有的假设上证明出来。

    抽象的假设提得过多，唯一的效果就是使我们在数学推理中减少审美方面的乐趣，并且会给第三个评述过程造成麻烦。

    第三个评述过程是验证我们的抽象假设在当前的特殊事例中是否能成立。一切的麻烦都是从这个验证特殊事例的过程中产生的。在数40个苹果这种简单的事例中，只要稍加留心就可以在实际上达到肯定的程度。

    但一般说来，在十分复杂的事例上就不可能达到完全肯定的程度。为这一问题而写的书籍简直是汗牛充栋。但这是对立的哲学家交锋的战场。这里面牵涉到两个不同的问题。一方面是我们已经观察到了某些确定的东西，同时我们又要确实弄明白这些东西之间的关系的确服从于某些固定的严格抽象条件。这儿发生错误的可能性就非常大了。一切严格的科学观察法都只是一些措施，为的是减少这些关于直接事实的错误。但这儿又产生了另一个问题：被直接观察到的事物几乎永远只是一些例子。我们所要作的结论是：某些抽象条件如果在例证中能成立，那么在其他一切由于某种理由而被认为是属于同一类型的实有中也都能成立。这种由例证而推论及全体的推理过程就叫归纳法。

    归纳法的理论是哲学上无法处理的东西，然而我们的一切行为又都以这种理论为基础。总而言之，当我们评述一件特殊实际事物的数学结论时，真正的困难在于找出被牵涉到的抽象假设，并对它能否适用于当前的特殊事例的证据加以估价。

    因此，我们常常看到，在评述一部造诣极深的应用数学书籍或一篇论文时，一切的麻烦就在于第一章上，甚至于就在第一页上。因为正是在这个刚一开始的地方，作者很可能在假设上有失误。同时，麻烦还不在于作者说了一些什么，而在于他没有说的是什么；不在于他明确了的假设，而在于他不知不觉地作出的假设。我们并不怀疑作者的诚实，这里所批评的是他自作聪明的地方。每一代人都批评上一代所作的非意识的假设。人们也可能同意这种假设，但却不能让它停留在非意识阶段，而要把它揭示出来。

    语言发展史可以说明这一问题。这种历史是观念分析不断进展的历史。拉丁文和希腊文都是有字尾变化的语言。这就是说，他们表达一丛未加分析的观念时只要把字尾变一下格就行了。但拿英文来说，我们便要用前置词和助动词来表明整个的意义。把辅助的意义硬塞进主要的词句中去虽不见得对所有的文学体裁都方便，但对某些体裁却可能是一个方便。不过，就表达明了这一方面说来，英语这种语言却是高得不可比拟的。明了程度的加强就是把语句涵义中的复杂观念所牵涉的各种抽象概念更完整地表达出来。

    拿语言的情形作了一个比较，就可以看出纯数学所达到的思想功能是什么。

    这是完全走向完整的分析的有效步骤，这样做为的是把单纯的事物和这种事物所体现的纯抽象条件分开来。

    这种分析的习惯启发了人类脑筋的每一种功能。它首先通过分离的方法，强调从审美观点出发直接体察经验的内容。

    这种直接体察是理解经验本身就其固有的特质（包括它的直接实际价值在内）说来，究竟是什么。这是属于直接经验方面的问题，必须依靠精微的感觉。然后便是把有关的特殊实有抽象化的问题，也就是把这些实有和它被了解时所处的特殊经验状况分离开来，从而理解它的本身。最后还要进一步理解这些经验中的实有之间的特殊关系所能满足的绝对普遍条件。这些条件之所以具有普遍性，是因为它们可以不涉及某种特殊经验中所发生的某些特殊关系或特殊状态，单靠本身就能表示出来。这些条件可以适用于牵涉其他实有和其他相互关系的无数事态。因此，这些条件是完全普遍的，因为它们不涉及任何特殊事态或在不同事态下存在的任何特殊实有（如绿、红、树等），也不牵涉这些实有之间的关系。

    然而数学的普遍性却可以划出一个极限，这一限制对所有的普遍叙述都能适用。任何疏远的事态如果和直接的事态没有关系，因而不能形成该直接事态的要素中一个组成部分的话，那么对这种事态除开一种叙述以外就无法提出任何其他叙述了。我们说的直接事态就是把该问题中的个人判断活动当成一个组成部分的事态，而唯一能作出的叙述则是：“如果任何东西处于关系之外，则对它将无所知”。这儿所说的“无所知”是指“完全不知道”。因之，不论是在实践中或任何情况下，关于如何看待它或处理它的问题都无法提出意见。

    我们要知道疏远事态中的一些东西，就必须通过一种认识，这种认识本身就是直接事态的组成部分，否则我们就一无所知。

    因此，在各种经验下显示出来的全部宇宙，其中的全部细节都和直接事态具有一定的关系。数学的普遍性是最完整的普遍性，它和构成我们的形而上学世界的各种事态都能符合。

    还有一点应当注意的是，特殊的实有在进入任何事态时都必须具有这种一般条件。但许多不同类型的实有也许会要求同一种的一般条件。一般条件超越于任何一套特殊实有之上——这就是“变数”这个概念进入数学和数理逻辑的理由。

    正是由于运用了“变数”的概念，考察一般条件时才可以不要任何特殊实有来说明。特殊实有的这种不相关性并没有为一般人所理解。例如实际经验中的“圆性”、“球形性”、“立体性”等等形态的性质在几何推理中并没有地位。

    运用逻辑推理时所涉及的完全是这种绝对普遍的条件从最广泛的意义上来说，发现数学就是发现这些抽象条件的全部情况。它们都可以同样运用于一切实有在任何实际状况下所发生的关系，而且彼此之间用一定的模式互相联系起来，其中还具有一种启开全局的锁钥。普遍抽象条件之间所存在的这种关系模式无分轩轾地存在于所有的外界实有之上。同时也普遍存在于我们对外界实有所作的抽象表达之上。这一情形是通过下一普遍的必然性形成的；即每一事物都必然不多不少正好形成它的自身，并且以它自身特有的方式区别于其他任何事物。这就是抽象逻辑的必然性，而这种必然性就是每一种直接经验事态所显示的关联存在这一事实必然假定的前提。

    打开关系模式的锁钥所指的情况是这样：普遍条件中被选定的某一套条件在某一事态下体现后，如果想要求得体现在同一事态下然而又涉及该条件的无限变种的模式，就可以纯粹运用抽象逻辑来推演。任何这类被选定的条件就叫一套假设或前提，推理就是从这种假设或前提下开始的。如果把这一套选定的假设推演出它的模式来，然后再把这一模式中所包括的普遍条件的全部模式表达出来，便是所说的推理过程了。

    推演出假设中所包含的完整模式来的逻辑推理的谐和是一种最普遍的审美性质。这种性质仅是从一个事态的统一体中所包含的协同存在这一事实上产生出来的。只要有事态的统一体存在的地方，该事态所牵涉的普遍条件之间便存在着审美学的关系。这种审美学的关系是在运用理性的时候发现的。所有属于这一关系之内的东西便都在该事态中体现出来，所有不属于这一关系之内的东西便不可能在该事态中体现。

    因此，象这样体现出来的普遍条件的完整模式便可以由任何一套精选的条件来决定。这类锁钥性的各套假设是由相等的假设组成的。“存在”的这种理性谐和是一个复杂事态的统一体所必需的，这种谐和再加上该事态的逻辑谐和所牵涉的一切完整体现就是形而上学理论的主题。这话的意思就是说：事物在一起存在时都是有理性地在一起存在的。同时也就是说，思想可以认识每一种事实的事态。

    因此，只要理解了锁钥性的条件，条件模式的全部复杂情况便被打开了。总起来说：如果我们知道了某一事态中各种要素的某些完全普遍的性质，就能知道同一事态下必然会出现的无数其他同样普遍的概念。一种事态的统一性所牵涉的逻辑谐和既是排他的，又是无所不包的。该事态必须排斥一切非谐和的东西而包含一切谐和的东西。

    毕达哥拉斯第一个掌握了这一普遍原则的全部意义。他是纪元前6世纪的人。

    我们对他的了解是很不完全的。但我们欲知道某些使他成为思想史中的伟大人物的特点。他坚持推理中极终普遍性的重要意义。他看出了数字在帮助人们叙述出自然秩序中所涉及的条件时的重要意义。我们也知道他研究过几何，发现了直角三角形著名定理的普遍证法。他建立了毕达哥拉斯兄弟社，关于该社的仪式和影响还有许多神秘的传说。这些都提供了证据，说明毕达哥拉斯的认识不论怎样模糊，但总是看出了数学在科学构成中可能具有的意义。

    在哲学方面他开创了一种讨论，这讨论往后一直在激动着思想家的心弦。他问道：“数学中的实有象‘数’之类的东西在事物领域中究竟应占什么地位呢？”

    例如“2”这一个数目便是处在时间之流和空间的必然位置以外的东西。然而它却是实际世界所涉及的东西。同样的理由也可以适用于圆形之类的几何概念。据说毕达哥拉斯曾经认为数学的实有如数与形状等是最后的材料，我们的感官经验中的实有都是由这种材料组成的。这样概略说来，这种观念似乎非常粗糙，而且也诚然很笨。但他却讲到了一个相当重要的哲学概念。这个概念具有悠久的历史，曾经激动过人们的心弦，甚至还深入了基督教的神学。阿德纳肖信条和毕达哥拉斯相距有1，000年之久，黑格尔和毕达哥拉斯则相差有2，400年之久。不管时间距离有多长，但有限数在神性构成中的意义，以及现实世界是观念发展的体现等说法，都可以追溯到毕达哥拉斯所创始的一系列思想上去。

    个别思想家的地位有时是随机遇而转移的。也就是说，必须看他的观念在继承人心中的命运如何而定。在这一方面毕达哥拉斯是很幸运的。他的哲学思想通过柏拉