I
经典牛顿动力学与量子理论之间存在着根本性差异，但在这两种情形中，却都存在用轨道或波函数的个体描述（参见第一章第IV节）和用概率分布的统计描述。我们看到，庞加莱共振既出现于经典理论也出现于量子理论之中。因此，我们期望我们在经典力学中获得的结果也将适用于量子理论。实际上，在这两种情况下，我们都实现了适用于希尔伯特空间之外的LPS扫新的统计表述，这一描述包含时间对称性破缺，且对于用量子波函数的个体描述是不可约的。
尽管量子理论取得了惊人的成功，但关于其概念基础的讨论不但未减弱，而且仍像70年前一样热烈。
例如，彭罗斯在他的新著《心智之影》里区分了量子性态中的“Z谜”（对量子疑难而言）和“X谜”（对量子佯谬而言）。而且，非定域性的作用似乎颇令人生疑。已知定域性是与牛顿逐点轨道描述相联系的一种属性，所以包含物质的波方面的量子理论产生一种非定域性形式就不令人惊奇了。
似乎需要量子理论的二元表述的波函数的“坍缩”，具有更深刻的意义。一方面，我们有对于波函数的基本薛定谔方程，它和牛顿方程一样是时间可逆的和确定性的；另一方面，我们有与不可逆性和波函数的坍缩相联系的测量过程。这种二元结构正是冯·诺伊曼在他的名著《量子力学数学基础》中论证的基础。这种情况确实奇异，因为，除了时间可逆的、确定性的基本薛定谔方程之外，还存在一个与波函数的坍缩（或归约）相联系的第二动力学定律。但是迄今为止，既没有人能够描述这两个量子理论定律之间的联系，又没有人成功地给出波函数归约的实在论解释。这就是量子佯谬。
导源于量子理论二元结构的量子佯谬，与另一个难题紧密联系在一起。我们的结论是，量子理论是不完备的。量子理论像经典轨道理论一样是时间对称的，从而不能描述诸如趋近热力学平衡的不可逆过程。这所以特别奇怪，是因为量子理论肇始于1900年普朗克（Max Planck）成功地描述了黑体辐射与物质的平衡。甚至今天，尽管有爱因斯坦和狄拉克（Paul A．M．Dirac）取得的巨大进展，我们却仍然没有精确的量子理论来描述辐射与物质相互作用时对平衡的趋近。（我们将看到，这与量子理论描述可积系统相关。我们将在第IV节回应这一挑战。）我们既需要平衡物理学也需要非平衡物理学来描述我们周围的世界。平衡情形的一个例子是源于接近大爆炸时刻的著名的3K剩余黑体辐射。宏观物理学的大部分都涉及平衡系统，无论它们是固态、液态还是气态，所以，在量子理论与热力学之间存在着像经典理论与热力学之间一样深的鸿沟。令人惊奇的是，第五章中扩展经典力学所用的同一种方法也使我们用来统一量子理论和热力学。事实上，我们的方案消除了量子力学的二元结构，从而消除了量子佯谬。我们获得了量子理论的实在论诠释，因为从波函数到系综的转变现在可以被认为是庞加莱共振的结果，既不需要“观察者”的神秘介入，也不需要引入其他不可控制的假设。与第一章提到的其他扩展量子理论的建议相比，我们自己的方案能做出可检验的明确预言。更有甚者，这些预言已为所完成的每一项数值模拟所证实。
尽管我们的方案构成一种向实在论的回归，但它肯定不意味着回到决定论。相反，我们甚至离经典物理学的决定论观点更远。我们赞同波普尔的观点：“我自己的观点是，非决定论与实在论是相容的，承认这一事实促使我们采用整个量子理论一致的客观的认识论，一种概率的客观论诠释。”因此，我们将力图把波普尔称为他的形而上学之梦的东西带人物理学范畴。波普尔写道：“世界可能就是非决定性的，即使不存在对它进行实验和干预它的观测主体。”所以，我们要表明，具有持续相互作用的不稳定动力学系统的量子理论，像经典系统中一样，产生一种既是统计的又是实在论的描述。在这种新表述中，基本量不再是对应于概率幅的波函数，而是概率本身。像经典物理学中一样，概率作为一个基本概念从量子力学中产生出来。在这一意义上，我们处在已延续几百年的“概率革命”胜利的前夕。概率不再是我们的无知所造成的一种心态，而是自然法则的结果。
II
对原子与光之间相互作用产生明确的吸收频率和发射频率的观测，是量子力学表述的出发点。原子被玻尔用离散能级所描述。根据实验数据（里兹-里德伯定则），谱线的频率是两个能级之差。一旦已知这些能级，我们就能预言谱线的频率。于是，光谱学问题可以简化为能级计算问题。但我们如何使对量子理论历史有深远影响的明确能级的存在与对经典理论如此重要的哈密顿量概念相一致呢？经典哈密顿量用坐标q和动量P表达动力学系统的能量，所以取一系列连续值，它不能产生离散能级。正是由于这一原因，在量子理论中，哈密顿量H被哈密顿算符Hop所取代。
我们已经反复使用过算符表述（佩龙-弗罗贝尼乌斯算符在第四章引入，刘维尔算符在第五章引入），但正是在量子理论中，算符分析被首次引入到物理学之中。在第四、第五章所研究的情形里，我们需要算符未获得统计描述；在这里，甚至对应于波函数的个体描述层次也需要算符表述。
量子力学中的基本问题是，确定哈密顿算符H（在不混淆时我们将省略下标叫的本征函数Uα和本征值Eα。与能级的观测值相同的本征值风构成H的谱。当相继的本征值由有限距离所分开时，称为离散谱；若能级之间的间隔趋于零，则称为连续谱。对处于线度为L的一维盒中的自由粒子来说，能级间隔反比于 L2。作为L→∞的结果，这一间隔趋于零，从而我们得到连续谱。按照定义，LPS（大庞加莱系统）中的“大”的确切含义，是这些系统具有连续谱。如同经典理论一样，哈密顿量在这里是坐标和动量的函数。然而，由于哈密顿量现在是算符，所以这些量以及所有的动力学变量现在都必须作算符对待。
在今天的物理学家看来，发生在量子理论中从函数到算符的转变似乎十分自然。他们现在使用算符就像我们大多数人使用自然数那么容易，然而对于像荷兰科学家洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）这样的经典物理学家来说，算符的引入断难接受，甚至令人反感。无论如何，勇敢地把算符表述引入物理学的海森伯、玻恩、约当（Pascual Jordan）、薛定谔和狄拉克等人值得我们赞赏。在确定一个物理量（由算符表示）与该物理量所取的数值（相应算符的本征值）之间的概念差异中，他们剧烈地改变了我们的自然之描述，这一观念的根本改变对我们的实在概念有深远的影响。
作为算符表述精致化的一个例子，我们考虑两个算符间的对易关系。若两个算符作用在一个函数上的次序是无关紧要的，则这两个算符对易。反之，若它们的作用次序改变结果，则这两个算符不对易。例如，用x乘以函数f（x），然后对x求导数，不会得到与先对f（x）求导数再乘以x相同的结果，这很容易验证。不对易的算符具有不同的本征函数；反之，对易的算符具有公共本征函数。
著名的海森伯不确定性原理就是根据量子理论中所定义的坐标算符与动量算符不对易而得出的。在所有的量子力学教科书中都显示，在“坐标表象”中对应于坐标的算符qop具有本征值，这些本征值是量子客体的坐标，所以算符qop等同于经典坐标q；而动量算符pop被导数算符 所定义，它是q的导数。所以，qop和pop这两个算符不对易，它们没有公共的本征函数。在量子力学中，我们可以使用各种表象。除了坐标表象外，我们还有动量表象，在动量表象中，动量算符就是p，坐标由导数算符表示。无论是什么表象，这两个算符都不对易。
算符qop和pop不对易这一事实意味着，我们不能确定坐标和动量均有明确值量子客体的状态。这是海森伯不确定性反应的根源，它迫使我们放弃经典物理学的“朴素实在论”。我们能够测量某个给定粒子的动量或者坐标，但我们不能说这个粒子的动量和坐标两者均有确定值。这一结论是海森伯和玻恩等人在60年前得出的。然而，关于不确定度关系含义的讨论仍在继续，甚至有一些科学家迄今仍然没有放弃恢复经典力学的传统确定性实在论的希望。这正是爱因斯坦不满意量子理论的一个原因。我们应当注意，海森伯不确定性原理与自然之确定性时间对称描述（即薛定谔方程）是相容的。
我们说量子系统处于一个特定的“态”的时候，是什么意思？在经典力学中，态是相空间的点。在量子理论中，态由波函数描述，其时间演化由薛定谔方程所表达。
这一方程将波函数Ψ的时间导数等同于作用在Ψ上的哈密顿算符。它不是推导出来的，而是一开始就假定的，故只能由实验来验证其有效。它是量子理论中的基本自然法则。[注]注意它在形式上类似于第五章第III节中的刘维尔方程。其基本差别是，刘维尔算符L作用在分布函数ρ上，而Hop作用在波函数上。
[注]薛定谔方程和相对论性秋拉克方程有各种扩展，但是我们这里的讨论不需要它们。
我们已经提到，波函数对应于概率幅。引导薛定谔表述他的方程的，是与经典光学的类比。与经典力学的轨道方程形成对照，薛定谔方程是波动方程。薛定谔方程是偏微分方程，因为除了时间导数之外，Hop中还出现对坐标的导数（记住在坐标表象中，动量算符是对坐标求导数）。但经典方程和量子方程有一个共性：它们都对应于确定性的描述。一旦任意时刻t0的Ψ已知，加上适当的边界条件（例如在无限远处Ψ→0），我们就可以计算未来或过去任一时刻的Ψ。在这一意义上，我们重建了经典力学的确定论观点，但它现在适用于波函数，而不适用于轨道。
像经典运动方程一样，薛定谔方程也是时间可逆的。当我们用-t取代t时，该方程仍然成立。我们只需用其复共轭Ψ*取代Ψ。因而，如果我们观察Ψ从t1时刻的Ψ1到t2时刻的Ψ2的跃迁（其中t2大于t1），我们也能够观察由Ψ2*向Ψ1*的跃迁。值得我们回想的是爱丁顿在量子力学早期的评论，他认为量子概率是“通过引入沿相反时间方向传播的两个对称行波系统而获得的”。事实上，我们看到，薛定谔方程是描述概率幅演化的波动方程。若我们取薛定谔方程的复共轭，也就是用-i取代i，用Ψ*取代Ψ（假设Hop是实数），用-t取代t，则我们回到薛定谔方程。因此，正如爱丁顿所述，Ψ*可视为向过去传播的波函数。再者，如第一章所述，概率本身通过｝与其复共轭Ψ*的乘积（即|Ψ|2）得到。由于Ψ*可理解为在逆向时间上演化的Ψ，所以概率的定义意味着两个时间（一个来自过去，一个来自未来）的相通。因此，在量子理论中，概率是时间对称的。
我们现在看到，尽管存在着根本性差异，经典力学和量子力学却都对应于确定性的、时间可逆的自然法则。在这些表述中，过去和未来没有区别。我们在第一、第二章注意到，这导致需要引入量子理论的二元表述所造成的时间佯谬。哈密顿量在经典理论和量予理论中都起核心作用。在量子理论中，它的本征值确定能级；而根据薛定谔方程，哈密顿量还确定波函数的时间演化。
像上一章中的情况一样，我们将关注哈密顿量H是自由哈密顿量H0与由相互作用所产生的一个项λV之和的系统，即H＝ H0+λV。于是，此种系统的时间历史可以描述为这些相互作用引起的H0的本征态之间的跃迁。
只要我们仍然处在希尔伯特空间之中，H的本征值Eα就是实数（像刘维尔算符一样，H也是“厄米的”，厄米算符在希尔伯特空间里有实本征值）。波函数的演化是exp（－iEαt）这样的振荡项的叠加。然而，在量子力学中仍然存在不可逆过程，诸如玻尔理论中的量子跃变，激发原子通过发射光子或不稳定粒子而衰变（见图6．1），或者通过不稳定粒子衰变而衰变。
在传统量子理论的框架里，这些过程如何包含在希尔伯特空间内呢？衰变过程出现于大系统中。若激发原子保持在空腔里，则发射电子将弹回，就不存在什么不可逆过程。我们看到，波函数的时间演化由振荡项叠加或振荡项之和来描述。这个和因大系统的限制而成为一个积分，放需要新的特性。在如图6．1所描述的激发原于衰变情形中，概率|Ψ|2几乎随时间接指数衰变。几乎一词在这里至关重要：只要我们处在希尔伯特空间之中，无论对于很短时间（与电于绕原子核振荡的频率同数量级，即~10-16秒），还是对于很长时间（比如说10至100倍激发态的寿命，即~10-9秒），都存在与该指数的偏离。不过，尽管做了大量的实验研究，却尚未检测到对指数性态的偏离。这可真幸运，因为如果它们确实存在，将会给整个粒子物理学理论体系提出一系列严峻问题。
假定我们制备一束本稳定粒子，让其衰变；然后又制备第二束不稳定粒子。设想一下这样的怪异情形：不同时间制备的两束粒子具有不同的衰变定律，而且我们能够将它们区分开，犹如我们能够区别年长者和年幼者一样！这种怪事违背促使量子理论取得某些巨大成功[注] 的基本粒子的不可分辨性原理。观测到的精确的指数性态，表明希尔伯特空间描述不当。我们将在下一节回到衰变过程，但这里我们应当注意，不要把此种过程与驱使系统趋向平衡的过程相混淆。图6．1 所示的衰变过程只把原子的能量传递给光子。
[注]这些成功包括超流体的解释和固态的量子理论。
III
我们看到，量子力学中的主要问题是求解哈密顿量的本征值，这一问题只在少数量子系统中能够精确解出。为了做到这一点，我们通常需要采用微扰方法。如上所述，我们从形为H=Ho+λV的哈密顿量出发，其中H0相应于我们已经解出了本征值（“自由”哈密顿量）的哈密顿算符，V是通过所谓耦合常数又与H0耦合的微扰。我