大家只从哲学的观点来看《数学原理》，怀特海和我对此都表失望。对于关于矛盾的讨论和是否普通数学是从纯乎逻辑的前提正确地演绎出来的问题，大家很有兴趣，但是对于这部书里所发现的数学技巧，大家是不感兴趣的。我从前知道只有六个人读了这部书的后面几部分。其中三个是波兰人，后来（我相信）被希特勒给清算掉了。另外三个是得克萨斯州人，后来被同化得很满意。甚至有些人，他们所研究的问题和我们的问题完全一样，认为不值得查一查《数学原理》关于这些问题是怎么说的。我举两个例子：大约在《数学原理》出版十年之后，《数学纪事》发表了一篇长文，其中一些结果我们在我们的书里的第四部分不约而同早已经弄出来了。这篇文章里有些错误，我们却避免了，可是没有一个正确的地方不是我们已经发表过的。这篇文章的作者显然完全不知道他的这种工作早已经有人先他而为之了。第二个例子是在我在加利福尼亚大学和莱申巴赫同事的时候出现的。他告诉我，他有一项发明，他把数学归纳法引伸了。他名之为“超限归纳法”。我对他说，这个问题是在《数学原理》的第三卷里充分讨论过的。过了一个星期，他对我说，他已经证实了这一点。我想在本章里尽可能不过于专门，从数学的观点，不从哲学的观点，把《数学原理》我认为重要的几方面解释一下。

    我先从一个问题着手，这是一个哲学上的问题，也同样是一个数学上的问题，就是，关系的重要性。在我的论莱布尼茨的书里，我曾着重讨论过有关系的事实和命题的重要性，和这些相对立的是由本体——和——属性而成的事实和由主辞——和——宾辞而成的命题。我发现对关系所持的偏见在哲学和数学里是发生了不良影响的。正象莱布尼茨未获成功的努力一样，布尔的数理逻辑是讨论类的包含的，而且只是三段论法的一种发展。皮尔斯曾弄出一种关系逻辑，但他是把关系当作一种由双而成的类。这在技术上是可能的，但是并不自然而然地把注意力引向重要的东西。在关系逻辑里重要的东西是与类逻辑不同的东西。关于关系，我在哲学方面的意见有助于使我着重一种东西，这种东西结果变得极为有用。

    在那个时候，我几乎是只把关系认做是内包。我想到了这样一些句子：“x在y之前”、“x大于y”、“x在y之北”。那时我觉得（我现在确是仍然觉得），虽然从一种形式算法的观点来看我们可以把关系当做一套有序的偶，可是使这一套成为一个统一体的只是内包。当然，类也是如此。使一个类成为一个统一体的只有那个为类中的各项所共具、又为各项所特有的内包。凡是我们对付一个类，其中的项我们无法列举的时候，上面所讲的道理是显而易见的。就无限的类来说，无法列举是很明显的，可是大多数有限的类也正是如此。举例来说，谁能列举蠼螋这个类其中的各项呢？虽然如此，我们还是可以说出一些关于一切蠼螋的命题来（或真或伪），我们之所以能够如此，乃是由于使这个类所以能够成立的内包。以上所说各点也一样可以用于关系。关于时间上的次序，我们有很多事情可说，因为我们懂得“在先”这个字的意思，虽然x在y之先这样的x，y一切的偶我们是无法列举的。但是对于关系是偶的类这种见解还有一个反对的议论：这些偶必须是有序的偶，那就是说，我们必须能够分别x，y这个偶和y，x这个偶。若是不藉内包上的某种关系，这是做不到的。只要我们只限于类和宾辞，就不可能解释次序，或把一个有序的偶和无序的一个两项的类加以区分。

    所有这些都是我们在《数学原理》里所发展出来的关系算法的哲学背景。我们不得不把各种概念用符号来表示，这些概念在以前是数理逻辑学家们没有弄得显著的。这些概念中最重要的是：（1）由一些项而成的类，这些项对于一个既定的y项有R关系；（2）由一些项而成的类，对于这些项一个既定的x项有R关系；（3）关系的“范围”，这个范围是由一个类而成，这个类中所有的项对于某种什么东西有R关系；（4）R的“相反范围”，这个范围是由一个类而成，某种什么东西对于这个类中所有的项有R关系；（5）R的“领域”，这个领域是由上面所说的那种“范围”和“相反范围”而成；（6）一种R关系的“反面”，这是x和y之间有R关系的时候，y和x之间所具的一种关系；（7）R和S两种关系的“关系产物”，这是有一个y中项的时候，x和z之间的一种关系，x对于y有R关系，y对于z有S关系；（8）复数，其界说如下：有既定的某a类，我们形成一个由若干项而成的类，所有这些项对于a的某项有R关系。我们可以看一看人与人的关系来作以上各种概念的例子。举例来说，假定R是父母与子女的关系。那么，（1）就是y的父母；（2）是x的子女；（3）是所有那些有子女的人的类；（4）是所有那些有父母的人的类，那就是说，除了亚当和夏娃以外，每人都包括在内；（5）“父母”关系的领域包括每个人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（6）“的父母”这种关系的反面是“的子女”那么一种关系；（7）“祖父母”是父母与父母的关系产物，“弟兄或姊妹”是“子女”与“父母”的关系产物，“堂兄弟或弟兄或姊妹”是孙和祖父母的关系产物，其余可以类推；（8）“伊通学院学生的父母”是按这一个意义来说的复数。

    不同种类的关系有不同种类的用处。我们可以先讲一种关系，这种关系产生一种东西，我名之曰“叙述函项”。这是最多只有一项对于既定的一项所能有的一种关系。这种关系产生用单数的“the”这个字的短语，如“the　fatherof　x”（x的父亲），“the　dou－ble　of　x”（x的两倍），“thesine　of　x”（x的正弦），以及数学中所有的普通函数。这种函项只能由我名之曰“一对多”的那种关系产生出来，也就是最多一项对于任何别的一项所能有的那种关系。举例来说，如果你正在谈一个信基督教的国家，你可以说“x的妻”，但是如果用于一个一夫多妻制的国家，这一个短语的意思就不明确了。在数学里你可以说“x的平方”，但是不能说“x的平方根”，因为x有两个平方根。前面所列的表里的“范围”、“相反范围”和“领域”都产生叙述函项。

    第二种极其重要的关系是在两个类之间建立一种相互关系的那种关系。这种关系我名之曰“一对一”的关系。这是这样一种关系，在这种关系中，不仅最多只有一个对于一个既定的y有R关系的x，而且最多也只有一个y，对于这个y一个既定的x有R关系。举一个例子：禁止一夫多妻的婚姻。凡是在两个类之间有这样一种相互关系存在，这两个类的项的数目就是一样的。举例来说：不用计算我们就知道妻的数目和夫的数目是一样的，人的鼻子的数目和人的数目是一样的。有一种特殊形式的相互关系，这种关系也是极其重要的。这种相互关系的起因是：有两个类是P和Q两个关系的领域，并且在它们之间有一种相互关系，凡是两个项有P这种关系的时候，它们的相关者就有Q这种关系，反之亦然。结过婚的官吏的位次和他们的妻的位次就是一个例子。如果这些妻不和贵族有关系，或者如果这些官吏不是主教，这些妻的位次就和丈夫的位次是一样的。这种产生相互关系的东西名曰“次序的相互关系产生者”，因为不管在P领域中的各项有怎么一种次序，这种次序总保存在Q领域中的它们的相关者中。

    第三种重要的关系类型是产生系列的一种关系。“系列”是一个旧的，人人都熟悉的名辞，但我认为我是给这个辞以一个确切意义的第一个人。一个系列就是一个组，包含若干项，这些项有一个次序，这个次序来源于一种关系，这种关系具有三种性质：（a）这种关系一定是不对称的，那就是说，如果x对y有这种关系，y对x就没有这种关系；（b）它一定是及物的，那就是说，如果x对y有这种关系，并且y对z有这种关系，x对z就有这种关系；（c）它一定是连接的，那就是说，如果x和y是这种关系领域中的任何不同的两项，那么，不是x对于y有这种关系，就是y对于x有这种关系。如果一种关系具备了这三种性质，它就把它领域中的各项排列在一个系列中。

    所有这些性质都很容易用人与人关系的例子来说明。丈夫这种关系是不对称的，因为如果A是B的丈夫，B就不是A的丈夫。相反，配偶就是对称的。祖先是及物的，因为A的一个祖先的一个祖先是A的一个祖先；但是父亲是不及物的。在一个系列关系所必具的三个性质之中，祖先具备两个，不具备第三个，“连接”，那个性质，因为，并不是任何两个人之中，一个一定是另一个的祖先。另外一方面，举例来说，如果我们看一看一个皇室的王位继承，儿子总是继承父亲，仅限于这个王系的祖先关系是连接的，所以这些国王形成一个系列。

    上面这三种关系是逻辑和普通数学之间过渡的极为重要的关系。

    现在我想进而把几种发展的大意说一说，以上所讲的逻辑上的那一套对于这些发展是很有用的。但是在讲之前，我先说几句概括的话。

    在我年轻的时候，人家告诉我说，数学是关于数目和量的科学，另一种说法是，数学是关于数目和度量的科学。这一个定义失之过于狭隘。第一：在传统的数学里所讲的那些很多不同种类的数目只占数学方法所应用到的那个范围的一小部分，并且，为建立算术的基础我们所不能不有的推理是和数目没有很密切的关系的。第二：在讲算术和算术的绪论的时候，我们不可忘记，有些定理对于有限的和无限的类或数来说都一样是真的。只要可能，我们不应该只为前者对于这些定理加以证明。说得更普通一些，如果在比较普遍的范围内我们可以证明一些定理，我们认为，在特殊某类的实例中对于这些定理加以证明是一件耗费时间的事。第三：算术中的一些传统的形式定律，即，结合定律，

    （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

    交互定律，

    a＋b＝b＋a

    以及乘法上的一些类似的定律

    和分配定律

    a×（b＋c）＝（a×b）＋（a×c）

    我们认为证实这些定律是我们的目的的一部分。初学数学的人只学了这些定律而无证明，要不然，如果有证明，他们是用数学归纳法，因此只对于有限数是有效的。加法和乘法上的普遍定义假定因数的数目是有限的。我们竭力想去掉包括以上所说那一种在内的一些限制。

    用所谓“选择”的方法，我们可以把乘法扩展到无限多的因数。用选举议会的议员这个例子最容易使我们明白选择这个概念是什么。假定在该国家里每一个选举出来的议员必须是选民中的一员，整个议会就是自选民而来的一个所谓“选择”。大意是这样：如果有一个由若干类而成的类，那若干类中没有一个是零，选择就是一种关系，从每类中挑出一个项来做那类的“代表”。这样做法的数目（假定没有一项为两类所共有）就是这些类的数目的积数。举例来说，假定我们有三个类，第一个是由x1，x2，x3而成，第二个由y1，y2，y3而成，第三个由z1，z2，z3而成，凡是包含一个x，一个y和一个z的类就是自三类的类而来的一个选择。无论哪一个读者都不难弄明白有二十七种办法来做这种选择。

    在我们采用了这种乘法的定义之后，我们遇到了一种没有想到的困难。如果类的数目是无限的，好象我们就无法确知选择是可能的。如果这些类的数目是有限的，我们可以从每一类里任意挑出一个代表来，在大选里就是这样；但是，如果这些类的数目是无限的，我们就无法有无限数目的任意的挑选，并且我们不能确知可以做出一个选择来，除非有一个内包来得到所希望的结果。我举一个例子：从前有一个百万富翁，他买了无数双鞋，并且，只要他买一双鞋，他也买一双袜子。我们可以作一个选择，从每双鞋里挑一只，因为我们总是可以挑右鞋或者挑左鞋。所以，就鞋来说，选择是存在的。但是，论到袜子，因为没有左右之分，我们就不能用这个选择的规则。如果我们想从袜子之中能够加以选择，我们就不能不采取一种精密得多的方法。例如，我们可以找出一个特点来，在每双袜子中有一只比另一只更近于这个特点。这样，我们从每一双里挑选那一只比较近于这个特点的袜子，我们就选择出来了一套。我曾有一次把这一个谜说给在三一学院教职员餐桌偶尔坐在我一边的一位德国数学家听，可是他唯一的评语是：“为什么说百万富翁？”

    有些人以为，不言而喻，如果这些类之中没有一个是零，从每类中选择出一个来就一定是可能的。另有一些人则认为不然。关于这一点，皮亚诺说得最好：“这一个原则正确不正确呢？我们的意见是没有价值的。”我们对于我们所谓“乘法公理”所下的界说是：这是假定永远可能从一组若干类中的每一个（这些类没有一个是零）选出一个代表来。我们找不到赞成或反对这个公理的论证，因此我们把这一个公理明白地包括在应用这个公理的任何定理的假定中。在我们遇到这一个问题的同时，载尔美乐提出了他所说的“选择原理”，这是一个略为不同但在逻辑上相等的假定。他和一些别的人把它看做是一个自明的真理。因为