◎历三
开元《大衍历经》
演纪上元阏逢困敦之岁，距今开元十二年甲子岁，岁积九千六百六十六万一
千七百四十算。
大衍步中朔第一
大衍通法：三千四十。
策实：一百一十一万三百四十三。
揲法：八万九千七百七十三。
灭法：九万一千三百。
策馀：一万五千九百四十三。
用差：一万七千一百二十四。
挂限：八万七千一十八。
三元之策：一十五；馀，六百六十四；秒，七。
四象之策：二十九；馀，一千六百一十三。
中盈分：一千三百二十八；秒，十四。
爻数：六十。
象统：二十四。
推天正中气以策实乘入元距所求积算，命曰中积分。盈大衍通法得一，为
积日。不盈者，为小馀。爻数去积日，不尽日为大馀。数从甲子起算外，即所求
年天正中气冬至日及小馀也。
求次气因天正中气大小馀，以三元之策及馀秒加之。其秒盈象统，从小馀。
小馀满大衍通法，从大馀。大馀满爻数，去之。命如前，即次气恒日及馀秒。凡
率相因加者，下有馀秒，皆以类相从。而满其法，则迭进之，用加上位。日盈爻
数，去之也。
推天正合朔以揲法去中积分。其所不尽，曰归馀之卦。以减积积分，馀为
朔积分。乃如大衍通法而一，为日。不尽，为小馀。日盈爻数，去之。不盈者，
为大馀。命以甲子算外，即所求年天正合朔经日及小馀也。
求次朔及弦望因天正经朔大小馀，以四象之策及馀加之。数除如法，即次
朔经日及馀也。又自经朔加一象之日七及馀一千一百六十三少，得上弦。倍之，
得望。参之，得下弦。四之，是谓一揲，复得后月之朔。凡四分一为少，二为半，
三为太，四为全。加满其前数，去之，从上位。综中朔盈虚分，累益归馀之卦，
每其月闰衰。凡归馀之卦五万六千七百六十以上，其岁有闰。因考其闰衰，满卦
限以上，其月及合置闰。或有进退，皆以定朔无中气裁焉。
推没日置有没之气恒小馀，以象统乘之，内秒分，参而伍之，以减策实。
馀满策馀，为日。不满，为没馀。命起也。凡恒气小馀，不满大衍通法，如中盈
分半法已下，为有没之气。
推灭日以有灭之朔经小馀，减大衍通法。馀，倍参伍乘之，用减灭法。馀，
满朔虚分，为日。不满，为灭馀。命起经朔初日算外，即合朔后灭日也。凡经朔
小馀不满朔虚分者，为有灭之朔。
大衍步发敛术第二
天中之策：五；馀，二百二十二；秒，三十一。秒法：七十二。
地中之策：十八；馀，一百六十五；秒，八十六。秒法：一百二十。
贞晦之策：三；馀，一百三十二；秒，一百三。秒法：如前。
辰法：七百六十。
刻法：三百四。
推七十二候各因中节大小馀命之，即初候日也。以天中之策及馀秒加之，
数除如法，即次候日。又加，得末候日。凡发敛，皆以恒气。
推六十卦各因中气大小馀命之，公卦用事日也。以地之策及馀秒累加之，
数除如法，各次卦用事日。若以贞晦之策加诸候卦，得十二节之初外卦用事日。
推五行用事各因四立大小馀命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日也。
以贞晦之策及馀秒，减四季中气大小馀，即其月土始用事日。凡抽加减而有秒者，
母若不齐，当令母互乘子。乃加减之。母相乘为法。
推发敛去朔各置其月闰衰，以大衍通法约之，为日。不尽为馀，即其月中
气去经朔日算及馀秒也。求卦候者，各以天地之策及馀秒累加减之，中气之前以
减，中气之后以加。得去经朔日算及馀秒。
推发敛加时各置其小馀，以六爻乘之，如辰法而一，为半辰之数。不尽者，
五之，三刻法除之，为刻。又不尽者，三约为分。此分满刻法为刻，若令满象积
为刻者，即置不尽之数，十之，十九而一，为分。命起子半算外，各其加时所在
辰刻及分也。
大衍步日躔术第三
乾实：一百一十一万三百七十九太。周天度：三百六十五。虚分七百七十九
太。
岁差：三十六太。
求每日先后定数以所入气并后气盈缩分，倍六爻乘之，综两气辰数除，入
之，为末率。又列二气盈缩分，皆倍六爻乘之，各如辰数而一，以少减多，馀为
气差。加减末率，至后以差加，分后以差减。为初率。倍气差，亦六爻乘之，复
综两气辰数以除之，为日差。半之，以加减初末，各为定率。以日差累加减气初
定率，至后以差减，分后以差加。为每日盈缩分。乃驯积之，随所入气日加减气
下先后数，各其日定。冬至后为阳复，在盈加之，在缩减之。夏至后为阴复，在
缩加之，在盈减之。距四正前一气，在阴阳变革之际，不可相并，皆因前末为初
率。以气差至前加之，分前减之，为末率。馀依前率，各得所求。其朓朒亦放
此求之，各得每日定数。其分不满全数，母又每气不同，当退法除之，用百为母，
半已上从一，已下弃之。下求轨漏，馀分不满准此。
推二十四气定日冬夏至皆在天地之中，无有盈缩。馀各以气下先后数，先
减后加恒气小馀。满若不足，进退其日。命从甲子算外，各其定日及馀秒也。凡
推日月行度及轨漏交蚀，并依定气。若注历即依恒气也。
推平朔四象以定气相距置朔弦望经日大小馀，以所入定气大小馀及秒分减
之，各其所入定气日算及馀秒也。若大馀少不足减者，加爻数，然后减之。其弦
望小馀有少半太，当以爻乘之，乃以气秒分减，退一加象统。小馀不足减，退日
算一，加大衍通法也。
求朔弦望经日入朓朒各置其所入定气日算及馀秒。减日算一，各以日差
乘而半之，以加减其气初定率，前少，加之；前多，减之。以乘其所入定气日算
及馀秒。凡除者，先以母通全，内子，乃相乘，母相乘除之也。若忽微之数烦多
而不甚相校者，过半收为全，不盈半法，弃之。所得以损益朓朒积，各为其日
所入朓朒定数。若非朔望有交者，以十二乘所入日算。三其小馀，辰法除而从
之。以乘损益率，如定气辰数而一。所得以损益朓朒积，各为定数也。
赤道宿度
右北方七宿九十八度虚分七百七十九太
右西方七宿八十一度
右东方七宿七十五度
前皆赤道度。其毕、觜、参及舆鬼四宿度数，与古不同，今并依天以仪测定，
用为常数。纮带天中，仪极攸凭，以格黄道也。推黄道，准冬至岁差所在，每距
冬至前后各五度为限。初数十二，每限减一，尽九限，数终于四。殷二立之际，
一度少强，依平。乃距春分前、秋分后，初限起四，每限增一，尽九限，终于十
二，而黄道交复。计春分后、秋分前，亦五度为限，初数十二，尽九限，数终于
四。殷二立之际，一度少强，依平。乃距夏至前后，初限起四，尽九限，终于十
二。皆累裁之，以数乘限度，百二十而一，得度。不满者，十二除为分。若以十
除，则大分。十二为母，命以太半少及强弱。命曰黄赤道差数。二至前后，各九
限，以差减赤道度，为黄道度。二分前后，各九限，以差加赤道度，为黄道度。
若从黄道度反推赤道，二至前后各加之，二分前后须减之。
黄道宿度
右北方九十七度六虚之差十九太
右西方八十二度半
右南方一百一十度半
右东方七十五度少
前皆黄道度。其步日行月与五星出入，循此。求此宿度，皆有馀分。前后辈
之成少、半、太，准为全度。若上考古下验将来，当据岁差。每移一度，各依术
算，使得当时宿度及分，然可步日月五星，知其犯守也。
推日度以乾实去中积分。不尽者，盈大衍通法为度。不满，为度馀。命起
赤道虚九，去分。不满宿算外，即所求年天正冬至加时日所在度及馀也。以三元
之策累加之，命宿次如前，各得气初日加时赤道宿度。
求黄道日度以度馀减大衍通法。馀以冬至日躔之宿距度所入限乘之，为距
前分。置距度下黄赤道差，以大衍通法乘之，减去距前分。馀，满百二十除，为
定差。不满者，以象统乘之。复除，为秒分。乃以定差及秒减赤道宿度。馀，依
前命之，即天正冬至加时所在黄道宿度及馀也。
求次定气置岁差，以限数乘之，满百二十除，为秒分。不尽为小分。以加
于三元之策秒分，因累而裁之，命以黄道宿次去之，各得定气加时日躔所在宿及
馀也。
求定气初日夜半日所在度各置其气定小馀，副之，以乘其日盈缩分，满大
衍通法而一，盈加缩减其副，用减其日时度馀，命如前，各其日夜半日躔行在。
求次日，各因定气初日夜半度，累加一策，乃以其日盈缩分，盈加缩减度馀，命
以宿次，即半日所在度及馀也。
大衍步月离术第四
转终分：六百七十万一千二百七十九。
转终日：二十七；馀，一千六百八十五；秒，七十九。
转法：七十六。
转秒法：八十。
推天正经朔入转以转终分去朔积分，不尽，以秒法乘，盈转终分又去之，
馀如秒法一而入转分。不尽为秒。入转分满大衍通法，为日。不满为馀。命日算
外，即所求年天正经朔加时入转日及馀秒。
求次朔入转因天正所入转差日一、转馀二千九百六十七、秒分一，盈转终
日馀秒者去之。数除如前，即次日经朔加时所入。考上下弦望，如求经朔四象术，
循变相加，若以经朔望小馀减之，各其日夜半所入转日及馀秒。
求朔弦望入朓朒定数各朔其所入日损益而半之，为通率。又二率相减为
率差。前多者，以入馀减大衍通法，馀乘率差，盈大衍通法得一，并率差而半之。
前少者，半入馀，乘率差，亦以大衍通法除之，为加时转率。乃半之，以损益加
时所入，馀为转馀。其转馀，应益者，减法；应损者，因馀。皆以乘率差，盈大
衍通法得一，加于通率。转率乘之，大衍通法约之，以朓减朒加转率为定率。
乃以定率损益朓朒积为定数。其后无同率者，亦因前率，益者以通率为初数，
半率差而减之。应通率，其损益入馀，进退日者，分为二日，随馀初末如法求之，
所得并以损益转率。此术本出《皇极历》，以究算术之微变。若非朔望有交者，
直以入馀乘损益，如大衍通法而一，以损益朓朒为定数，各得所求。
七日初：二千七百一，约为大分八。末：三百三十九，约为大分一。
十四日初：二千三百六十三，约为大分七。末：六百七十七，约为大分二。
二十一日初：二千二十四，约为大分六。末：一千一十六，约为大分三。
二十八日初：一千六百八十六，约为大分五。末：一千三百五十四，约为大
分四。
右以四象约转终日及馀，均得六日二千七百一分。就全数约为大分，是为之
八分。以减法，馀为末数。乃四象驯变相加，各其所当之日初末数也。视入转馀，
如初数以下者，加减损益，因循前率；如初数以上，则反其衰，归于后率云。
求朔弦望定日及馀以入气、入转朓朒定数，同名相从，异名相消。乃以
朓减朒加四象经小馀。满若不足，进大馀。命以甲子算外，各其定日及小馀。
干名与后朔叶同者，月大。不同者，小；无中气者，为闰月。凡言夜半者，皆起
晨前子正之中。若注历观弦望定小馀，不盈晨初馀数者，退一日。其望，小馀虽
满此数，若有交蚀，亏初起在晨初已前者，亦如之。又月行九道迟疾，则三大二
小。以日行盈缩，累增损之，则容有四大三小，理数然也。若俯循常仪，当察加
时早晚，随其所近而进退之，使不过三小。其正月朔，若有交加时正见者，消息
前后一两月，以定大小，令亏在晦二。
推定朔弦望夜半日所在度各随定气次日以所直日度及馀分命焉。若以五星
相加减者，以四约度馀。乃列朔弦望小馀，副之，以乘其日盈缩分，如大衍通法
而一，盈加缩减其副，以加其日夜半度馀，命如前，各其日加时日躔所次。
推月九道度凡合朔所交，冬在阴历，夏在阳历，月行青道。冬、夏至后，
青道半交在春分之宿，殷黄道东。立冬、夏后，青道半交在立春之宿，殷黄道东
南。至所冲之宿亦如之也。冬在阳历，夏在阴历，月行白道。冬至夏至后，白道
半交在秋分之宿，殷黄道西。立北。至所冲之宿亦如之也。春在阳历，秋在阴历，
月行朱道。春、秋分后，朱道半交在夏至之宿，殷黄道南。立春立秋后，朱道半
交在立夏之宿，殷黄道西南。至所冲之宿亦如之也。春在阴历，秋在阳历，月行
黑道。春、秋分后，黑道半交在冬至之宿，殷黄道北。立春立秋后，黑道半交在
立冬之宿，殷黄道东北。至所冲之宿亦如之也。四序离为八节，至阴阳之始交，
皆以黄道相会，故月有九行。各视月交所入七十二候，距交初黄道日每五度为限。
交初交中同。亦初数十二，每限减一，数终于四，乃一度强，依平。更从四起，
每限增一，终于十二，而至半交，其去黄道六度。又自十二，每限减一，数终于
四，亦一度强，依平。更从四起，每限增一，终于十二，复与日轨相会。各累计
其数，以乘限度，二百四十而一，得度。不满者，二十四除，为分。若以二十除
之，则大分。十二为母，命以半太及强弱也。为月行与黄道差数。距半交前后各
九限，以差数为减；距正交前后各九限，以差数为加。此加减是出入六度，单与
黄道相交之数也。若交赤道，则随气迁变不恒。计去冬至夏至以来候数，乘黄道
所差，十八而一，为月行与赤道差数。凡日以赤道内为阴，赤道外为阳；月以黄
道内为阴，黄道外为阳。故月行宿度入春分交后行阴历，秋分交后行阳历，皆为
同名；若入春分交后行阳历，秋分交后行阴历，皆为异名。其在同名，以差数为
加者加之，减者减之；若在异名，以差数为加者减之，减者加之。皆以增损黄道
度为九道定数。
推月九道平交入气各以其月恒中气，去经朔日算及馀秒，加其月经朔加时
入交泛日及馀秒，乃以减交终日及馀秒，其馀即各平交入其月恒中气日算及馀秒
也。满三元之策及馀秒则去之，其馀即平交入后月恒节气日算及馀秒。因求次交
者，以交终日及馀秒加之。满三元之策及馀秒，去之。不满者，为平交入其气日
算及馀秒。各以其气初先后数先加、后减其入馀。满若不足，进退日算，即平交
入定气日算及馀秒也。
求平交入气朓朒定数置所入定气日算，倍六爻乘之，三其小馀，辰法除
而从之，以乘其气损益率，如定气辰数而一，所得以损益其气朓朒积为定数也。
求平交入转朓朒定数置所入定气馀，加其日夜半入转馀，以乘其日损益
率，满大衍通法而一，所得以损益其日朓朒积，乃以交率乘之，交数而一，为
定数。
求正交入气置平交入气及入转朓朒定数，同名相从，异名相消。乃以朓
减、朒加平交入气馀，满若不足，进退日算，即为正交入定气日算及馀也。
求正交加时黄道宿度置正交入定气馀，副之，乘其日盈缩分，满大衍通法
而一，所得以盈加缩减其副，以加其日夜半日度，即正交加时所在黄度及馀也。
求正交加时月离九道宿度以正交加时度馀，减大衍通法。馀以正交之宿距
度所入限数乘之，为距前分。置距度下月道与黄道差，以大衍通法乘之，减去距
前分，馀满二百四十除，为定差。不满者，一退为秒。以定差及秒加黄道度，馀，
仍计去冬至夏至以来候数，乘定差，十八而一，所得依名同异而加减之，满若不
足，进退其度，命如前，即正交加时月离所在九道宿度及馀也。
推定朔弦望加时月所在度各置其日加时日躔所在，变从九道，循次相加。
凡合朔加时月行潜在日下，与太阳同度，是为离象。凡置朔弦望加时黄道日度，
以正交加时所在黄道宿度减之，馀以加其正交九道宿度，命起正交宿度算外，即
朔弦望加时所当九道宿度也。其合朔加时若非正交，则日在黄道，月在九道，各
入宿度，虽多少不同，考其去极，若应准绳，故云月行潜在日下，与太阳同度。
以一象之度九十一、馀九百五十四、秒二十二半为上弦，兑象。倍之而与日
冲，得望，坎象。参之，得下弦，震象。各以加其所当九道宿度，秒盈象统从馀，
馀满大衍通法从度。命如前，各其日加时月所在度及馀秒也。综五位成数四十，
以约度馀，为分。不尽者，因为小分也。
推定朔夜半入转恒视经朔夜半所入，若定朔大馀有进退者，亦加减转日，
否则因经朔为定。径求次定朔夜半入转，因前定朔夜半所入，大月加转差日二，
小月加日一，转馀皆一千三百五十四秒分一。数除如前，即次月定朔夜半所入。
求次日累加一日，去命如，各其夜半所入转日及馀秒。
求每日月转定度各以夜半入转馀，乘列衰，如大衍通法而一，所得以进加
退减其日转分，为月每所转定分，满转法为度也。
求朔弦望定日前夜半月所在度各半列衰，减转分。退者，定馀乘衰，以大
衍通法除，并衰而半之；进者，半定馀乘衰，定以大衍通法除，皆加所减。乃以
定馀乘之，盈大衍通法得一，以减加时月度及分。因夜半准此求转分以加之，亦
得加时月度。若非朔望有交，直以定小馀乘所入日转交分，如大衍通法而一，以
减其日时月度，亦得所求。
求次日夜半月度各以其日转定分加之，分满转法从度，命如前，即次日夜
半月所在度及分。
推月晨昏度各以所入转定分乘其日夜漏，倍百刻除，为晨分。以减转定分，
馀为昏分。分满转法，从度。以加夜半度，望前以昏加，望后以晨加。各得其日
晨昏月所在度及分。
大衍步轨漏第五
爻统：一千五百二十。
象积：四百八十。
辰刻：八；刻分，一百六十。
昏明刻：各二；刻分，二百四十。
求每日消息定衰各置其气消息衰，依定气日数，每日以陟降率陟减降加其
分，满百从衰，不满为分。各得每日消息定衰及分。其距二分前后各一气之外，
陟降不等，各每以三日为一限，损益如后。
雨水初日：降七十八。初限每日损十二，次限每日损八，次限每日损三，次
限每日损二，末限每日损一。
清明初日：陟一。初限每日益一，次限每日益二，次限每日益三，次限每日
益八，末限每日益十九。
处暑初日：降九十九。初限每日损十九，次限每日损八，次限每日损三，次
限每日损二，末限每日损一。
寒露初日：陟一。初限每日益一，次限每日益二，次限每日益三，次限每日
益八，末限每日益十二。
求前件四气置初日陟降率，每日依限次损益之，各为每日率。乃递以陟减
降加其气初日消息衰分，亦得每日定衰及分也。
推戴日之北每度晷数南方戴日之下，正中无晷。自戴日之北一度，乃初数
一千三百七十九。从此起差，每度增一，终于二十五度。又每度增二，终于四十
度。又每度增六，终于四十四度，增六十八。每度增二，终于五十五度。又每度
增十九，终于六十度，度增一百六十。又每度增三十三，终于六十五度。又每度
增三十六，终于七十度。又每度增三十九，终于七十二度，增二百六十。又度增
四百四十，又度增一千六十，又度增一千八百六十，又度增二千八百四十，又度
增四千，又度增五千三百四十，而各为每度差。因累其差以递加初数，满百为分，
分满十为寸，各为每度晷差。又每度晷差数。
求阳城日晷每日中常数各置其气去极度，以极去戴日下度五十六，盈分八
十二减半之，各得戴日之北度数及分。各以其消息定衰戴日北所直度分之晷差，
满百为分，分满十为寸，各为每日晷差。乃递以息减消加其气初晷数，得每日中
晷常数也。
求每日中晷定数各置其日所在气定小馀，以爻统减之，馀为中后分。置前
后分，以其日晷差乘之，如大衍通法而一，为变差。乃以变差加减其日中晷常数，
冬至后，中前以差减，中后以差加。夏至后，中前以差加，中后以差减。冬至一
日有减无加，夏至一日有加无减。各得每日中晷定数。
求每日夜半漏定数置消息定衰，满象积为刻，不满为分。各递以息减消加
其气初夜半漏，各得每日夜半漏定数。
求晨初馀数置夜半定漏全刻，以九千一百二十乘之，十九乘刻分从之，如
三百而一，所得为晨初馀数，不尽为小分。
求每日昼夜漏及日出入所在辰刻各倍夜半之漏，为夜刻。以减百刻，馀为
昼刻。减昼五刻以加夜，即昼为见刻，夜为没刻。半没刻以半辰刻加之，命起子
初刻算外，即日出辰刻。以见刻加之，命如前，即日入辰刻。置夜刻以五除之，
得每更差刻，又五除之，得每筹差刻。以昏刻加日入辰刻，得甲夜初刻。又以更
筹差加之，得次更一筹之数。以次累加，满辰刻去之，命如前，即得五夜更筹所
当辰及分也。其夜半定漏，亦名晨初夜刻。
求每日黄道去极定数置消息定衰，满百为度，不满为分，各递以息减消加
其气初去极度，各得每日去极定数。
求每日距中度定数置消息定衰，以一万二千三百八十六乘之，如一万六千
二百七十七而一，为每日度差。差满百为度，不满为分。各递以息加消减其气初
距中度，各得每日距中度定数。倍距中度以减周天度，五而一，所得为每更度差。
求每日昏明及每更中宿度所临置其日所在赤道宿度，以距中度加之，命宿
次如前，即得其日昏中所临宿度。以每更差度加之，命如前，即乙夜初中所临宿
度及分也。
求九服所在每气初日中晷常数置气去极度数相减，各为生气消息定数，因
测所在冬夏至日晷长短，但